Square（斯特林反演）
阿新 • • 發佈：2018-10-08
快速 容斥 等價 left math wear 符號 arr 神題
\[ \begin{align} g(n) &= {(c^n)}^{\underline{m}}\ &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i)\\end{align} \]
考慮這個式子的意義，就是枚舉了有幾行是不同的，然後將 \(n\) 行分成這 \(i\) 種不同的行（每個非空）的方案。
然後在 \(O(nm)\) 的時間裏求出第一類斯特林數，就可以做完了。
題意
給出一個 \(n × m\) 大小的矩形，每個位置可以填上 \([1, c]\) 中的任意一個數，要求填好後任意兩行互不等價且任意兩列互不等價，兩行或兩列等價當且僅當對應位置完全相同，求方案數 。
\(n, m \le 5000\)
題解
這題是 Wearry 出的神題，根本不會做。。。把題解搬過來了。
首先我們有一個很簡單的方式使得列之間互不等價，對於任意一列，總方案數是 \(c^n\) , 那麽使得列與列之間互不相同的方案數為 \({(c^n)}^{\underline{m}}\) 。
接下來的問題只與行數有關 , 定義 \(g(n)\) 表示 \(n\) 行不保證每行互不等價的方案數 , \(f(n)\)
\[ \begin{align} g(n) &= {(c^n)}^{\underline{m}}\ &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i)\\end{align} \]
考慮這個式子的意義，就是枚舉了有幾行是不同的，然後將 \(n\) 行分成這 \(i\) 種不同的行（每個非空）的方案。
然後考慮斯特林反演就行了。（此處指不帶符號的第一類斯特林數）
\[
\begin{align}
g(n) &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i) \\Leftrightarrow
f(n) &= \sum_{i=0} (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\ i\end{bmatrix} g(i)
\end{align}
\]
然後在 \(O(nm)\) 的時間裏求出第一類斯特林數，就可以做完了。
其實還有更快的求法，但是對於這題沒有必要。
見此博客 orz orz 生成函數大師 SunwayShichengLight 。
總結
對於行列計算方案的題，常常可以考慮枚舉一維，用容斥或者斯特林反演做。
對於另外一維可以快速計算可行的方案，來除掉一維的限制。
代碼
自己寫
Square（斯特林反演）