[ZJOI2010]排列計數

題目描述

稱一個1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，當且僅當2<=i<=N時，Pi>Pi/2. 計算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能輸出模P以後的值

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輸入文件的第一行包含兩個整數 n和p，含義如上所述。

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輸出文件中僅包含一個整數，表示計算1,2,?, 的排列中， Magic排列的個數模 p的值。

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輸入樣例#1：

20 23

輸出樣例#1：

16

說明

100%的數據中，\(1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9\)，p是一個質數。

Solution

組合計數+dp

因為這道題標簽有數位dp...exm?

好了回到這道題,看到題目中關鍵的一個式子
\[p_i>p_{i/2}\]
有沒有想到線段樹中子節點與父節點編號的關系,其實這就是一個小根堆的限制,我們要找出所有的小根堆的個數

可以\(dp\)求出來,對於一個節點i,包括它自己有\(size\)個節點,那麽我們考慮除它自己以外\(size-1\)個節點中有\(l\)個節點可以作為左子樹,剩下的作為右子樹
\[dp[i]=C_{size[i]-1}^{size[l]}\times dp[l]\times dp[r]\]
至於\(size[l]怎麽求?模擬dfs自下而上更新就好\)

然後,由於模數p可能<n(可能出現n%p==0,那就求不出逆元),所以要用lucas求

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define lol long long
#define ll(x) (x<<1)
#define rr(x) (x<<1|1)
#define in(i) (i=read())
using namespace std;

const int N=1e6+10;

lol read() {
    lol ans=0,f=1; char i=getchar();
    while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
    while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0',i=getchar();
    return ans*=f;
}

lol n,mod;
lol sum[N]={1},inv[N]={1},dp[N],size[N<<1];

lol qpow(lol a,lol x,lol ans=1) {
    while(x) {
        if(x&1) ans=ans*a%mod;
        x>>=1,a=a*a%mod;
    }return ans;
}

void init() {
    for(lol i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]*i%mod;
    for(lol i=1;i<=n;i++) inv[i]=qpow(sum[i],mod-2);
}

lol C(lol n,lol m) {
    if(m>n) return 0;
    return sum[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

lol Lucas(lol n,lol m) {
    if(!m) return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}

int main()
{
    in(n),in(mod); init();
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        size[i]=size[ll(i)]+size[rr(i)]+1;
        dp[i]=Lucas(size[i]-1,size[ll(i)])*(ll(i)>n?1:dp[ll(i)])%mod*(rr(i)>n?1:dp[rr(i)])%mod;
    }
    cout<<dp[1]<<endl;
}