[SDOI2016]排列計數

題目描述

求有多少種長度為 n 的序列 A，滿足以下條件：

1 ~ n 這 n 個數在序列中各出現了一次

若第 i 個數 A[i] 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的

滿足條件的序列可能很多，序列數對 10^9+7109+7 取模。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行一個數 T，表示有 T 組數據。

接下來 T 行，每行兩個整數 n、m。

輸出格式：

輸出 T 行，每行一個數，表示求出的序列數

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

輸出樣例#1：

0
1
20
578028887
60695423

說明

測試點 1 ~ 3： \(T = 1000，n \leq 8，m \leq 8；\)

測試點 4 ~ 6： \(T = 1000，n \leq 12，m \leq 12；\)

測試點 7 ~ 9： \(T = 1000，n \leq 100，m \leq 100；\)

測試點 10 ~ 12：\(T = 1000，n \leq 1000，m \leq 1000；\)

測試點 13 ~ 14：\(T = 500000，n \leq 1000，m \leq 1000；\)

測試點 15 ~ 20：\(T = 500000，n \leq 1000000，m \leq 1000000。\)

Solution

錯排公式/組合計數 裸題
\(Ans=C_{n}^{m}\times D_{n-m}\),其中\(D_{i}\)為共i個元素的錯排方案數(錯排指元素i不在下標為i的位置上)
然後因為要取模,費馬小定理求一下逆元

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define rg register
#define il inline
#define lol long long

using namespace std;

const int N=1e6+10,mod=1e9+7;

void in(int &ans) {
    ans=0; int f=1; char i=getchar();
    while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
    while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0',i=getchar();
    ans*=f;
}

int T,n,m;
lol D[N],ie[N],sum[N];//ie[]是逆元數組,inverse element的簡稱

lol qpow(lol a,int x,lol ans=1) {
    while(x) {
        if(x&1) ans=ans*a%mod;
        x>>=1,a=a*a%mod;
    }return ans;
}

il void init() {
    D[0]=D[2]=1;   for(rg int i=3;i<=N;i++) D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])%mod;
    ie[0]=sum[0]=1; for(rg int i=1;i<=N;i++) sum[i]=sum[i-1]*i%mod,ie[i]=qpow(sum[i],mod-2);
}

int main()
{
    in(T); init();
    while(T--) {
        in(n),in(m);
        printf("%lld\n",D[n-m]*sum[n]%mod*ie[m]%mod*ie[n-m]%mod);
    }
    return 0;
}
 

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