前言：上次算法課主要對分治思想進行了介紹，在這裏進行以下總結和幾個例子的應用。

一、分治算法

設計過程：（1）分解：將問題分解為子問題，子問題的形式與原問題是一樣的，只是規模減小了。

（2）求解：遞歸地求解出子問題。

（3）合並：將子問題的解組合成原問題的解。

分治算法中最重要的就是遞歸求解子問題，求解遞歸式估計出算法的復雜度一般可以有三種方式：

（1）代入法：猜測一個界，然後用數學歸納法證明這個界是正確的。

（2）遞歸樹法：將遞歸式轉為一棵樹，其結點表示不同層次的遞歸調用產生的代價。

（3）主方法：即Master定理，主要求解以下形式的遞歸式：T(n)=aT(n/b)+f(n)；該方法有三種情形，只要記住這三種情形，可以很快速的求解出遞歸式：

【1】若對某個常數€>0有f(n)=O(n^log_ba-€_{）則T（n）=}Θ(n^log_ba)；

【2】若f（n）₌Θ(n^log_ba)，則T(n)=Θ(n^log_balgn)；

【3】若f（n）₌Θ(n^log_ba+€)，則T(n)=Θ(f(n))；

二、應用例子：

（1）設X[0:n-1]和Y[0:n-1]為兩個數組，每個數組中含有n個已排好序的數，設計一個算法復雜度為O(logn)的分治算法，找出X和Y中2n個數中的中位數。（中位數：個數為奇數：中間位置上的數；個數為偶數，中間兩個數的平均數）

思路：對於兩個已排好序的數組，可以尋找兩個數組中的中位數，只需要進行n次的比較，時間復雜度可以為O(n)，代碼如下

int main(void)
{
　　int x[] = { 2, 4, 5, 11, 12, 13, 14 };
　　int y[] = { 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10 };
　　int a1, a2, n1, n2, n;
　　n = n1 = n2 = 0;
　　while (n < 7)
　　{
　　　　a1 = x[n1] <= y[n2] ? x[n1++] : y[n2++];
　　　　n++;
　　}
　　a2 = x[n1] <= y[n2] ? x[n1++] : y[n2++];
　　printf("%lg\n", (double)(a1 + a2) / 2);

　　return 0;
}

使用分治法設計算法的思路如下：

1.分別取兩個數組的中位數：若n為奇數，則x=X[n/2]，y=Y[n/2]；若n為偶數，則x,y分別為兩個數組中間兩個數的平均數。並設兩個數組的左右邊界分別為：XLeft,XRight；YLeft,YRight.

2.比較兩個中位數的大小：

　　（1）若x<y：則舍去x之前的數和y之後的數，形成新的子數組：X[n/2:XRight]，Y[YLeft:n/2]

　　（2）若x>y：則舍去x之後的數和y之前的數，形成新的子數組：X[XLeft:n/2]，Y[n/2:YRight]

　　（3）若x=y：則該數即是中位數，直接輸出即可。

3.若是步驟2中的前兩種情形，則進行遞歸，每次都篩去一半的數，直至兩個子數組的長度為1，遞歸結束，輸出數組中兩個數的平均數。

復雜度分析：

T(n)=O(1) n=1；T(n)=T(n/2)+1 n>1；

使用Master定理，f(n)=n^log₂1 =1，所以T(n)=O(logn)。

（2）有一實數序列a1,a2,....an，若i<j且ai>aj，則（ai，aj）形成了一個逆序對，請使用分治算法求整個序列中逆序對個數，並分析算法時間復雜度。

思路：看到這個問題的第一個想法是建立兩層循環：

int i,j;

int count=0;

for(i=1;i<=n;i++)

{

　　for(j=i+1;j<=n;j++)

　　{

　　　　if (ai>aj)

　　　　count++;

　　}

}

這種算法的時間復雜度應該為O(n²)

分治算法設計思路：將該實數序列分解為兩個等大的子序列，則逆序對存在於左序列、右序列及左右序列之間，遞歸求解左序列、右序列中的逆序對，而左右序列之間的逆序對需要合並，若直接進行合並，則遍歷需要的時間復雜度為(n/2)*（n/2)，復雜度並未得到改善，所以需要對合並進行優化，若對兩個排好序的左右序列進行合並，則不影響逆序對的結果，並且只需要遍歷n次，即合並的時間復雜度為O(n).

過程：

[1].分解：將原序列分為兩個等大的實數序列，即左序列，右序列

[2].求解：遞歸求解左序列、右序列中的逆序對

[3].合並：在合並的過程中排序並計算逆序對的個數。比如兩個排好序的數組{1,3,4,6}和{2,7,8,9}：1<2,左序列中往後移；3>2，則說明左序列中後面的數都大於2，所以有3個逆序對（3,2）（4,2）（6,2），右序列中指針向後移；3<7,左序列中往後移，4<7，往後移，6<7，往後移，至此已經沒有逆序對了。

仔細想這個過程和歸並排序非常像，只是在合並時計算逆序對的個數。

時間復雜度分析：

T(n)=2T(n/2)+O(1)+O(n);依次為求解子問題的代價，分解時的代價，及合並時的代價。利用Master定理：a=2,b=2,n^log₂2 =n，f(n)=n,所以T(n)=O(nlogn)

（3）求解天際線問題

給定n座建築物B[1,2,...,n]，每個建築物B[i]表示為一個矩形，用三元組B[i]=（ai,bi,hi）表示，其中ai表示建築左下頂點，bi表示建築的右下頂點，hi表示建築的高，請設計一個O(nlogn)的算法求出這n座建築物的天際輪廓。例如，左下圖所示中8座建築的表示分別為(1,5,11),(2,7,6),(3,9,13),(12,16,7),(14,25,3),(19,22,18),(23,29,13)和(24,28,4)，其中天際輪廓如右下圖所示可用9個高度的變化(1,11),(3,13),(9,0),(12,7),(16,3),(19,18),(22,3),(23,13)和(29,0)表示。另舉一個例子，假定只有一個建築物(1,5,11)，其天際輪廓輸出為2個高度的變化(1,11),(5,0)。

【思路】：若只有一個建築，那麽輸出的點一定是建築的左上和右下頂點，根據這個思路，使用分治法解決。

算法描述：

1. 取mid=n/2（n為建築的總數目）為分界線，將原有所有的建築劃分為左建築集合（0，mid）右建築集合（mid+1,n-1），將原問題一分為二進行遞歸
2. 當建築數量為1時：返回兩個點：p1=左上頂點；p2=右下頂點
3. 合並：

（1）定義三個變量hl,hr,h，全部初始化為0，分別記錄左集合、右集合及總體高度的變化值；

（2）遍歷左建築點L和右建築點R：選取橫坐標較小的點，若該點在左集合中，則hl為該點的縱坐標，比較hl與hr，選取二者的較大值替換該點的縱坐標，再與h進行比較，若縱坐標與h相等，則舍棄該點；若縱坐標與h不等，則保留該點，且當縱坐標大於h時，將h替換為縱坐標的值，h始終為高度的較大值。

（3）當左集合或右集合遍歷完畢時，另一方剩余的點直接取到。

可以用一個例子模擬該過程進棧出棧的過程：

建築群集合為(1,5,11)(2,7,6):

1. 經過分解，取到每個建築的左上頂點和右下頂點：（1,11）（5,0）；（2，6）（7,0）；
2. 進行合並：

hl=0,hr=0,h=0;

①left[0].x=1<right[0].x=2；（1,11）進棧。此時hl=11,hr=0,h=max(hl,hr)=11；保留該點；左集合中右移left[1]。

②left[1].x=5>right[0].x=2；（2,6）暫時進棧；此時hr=6,hl=11,h=11；則將right[1].y=max(hl,hr)=11；此時right[1].y=h:舍棄該點，（2,11）出棧；右集合右移，right[1]

③left[1].x=5<right[1].x=7；（5,0）暫時進棧；此時hr=0,hl=11,h=11；則left[1].y=max(hl,hr)=11；此時left[1].y=h:舍棄該點，（5,11）出棧。左集合右移

④左集合遍歷完畢，直接將右集合中剩余的點入棧

（4）POJ3714：在與聯邦的戰鬥接連失敗後，帝國撤退到最後的據點。帝國依靠其強大的防禦系統，擊退了六次聯合進攻。在經歷了幾個不眠之夜後，阿瑟將軍註意到防禦系統的唯一弱點是它的能源供應。該系統由N個核電站負責，並拆除其中任何一個將使該系統失效。這位將軍很快就開始了對這些電臺的突襲，這些特工被帶進了要塞。不幸的是，由於帝國空軍的襲擊，他們未能到達預期的位置。作為一名經驗豐富的將軍，亞瑟很快意識到他需要重新安排這個計劃。他現在想知道的第一件事是，哪個代理是離任何發電站最近的。你能不能幫助將軍計算一個代理和一個站之間的最小距離？

【思路】：此題是對最近點對問題的一個應用，最近點對問題中最後的解可能出現在三種情形中：左問題集合；右問題集合；一個點在左集合，一個點在右集合中。而POJ3714的這道題目相當於對最後的解進行了限制：必須是兩個集合中的點，所以我們只需在求最近點對的問題上加上一個限制：判斷最後求得的兩個點是否處於兩個集合中，判斷時可使用“標誌位”。具體的算法可以使用兩種方法：

【1】只進行了x軸預排序

f(Q,i,j)//Q已經按x軸進行了排序

{

　　if(j-i<=c)

　　{

　　　　直接計算距離，比較得到最小距離；

　　　　return；

　　}

　　di=f（Q,i,(i+j)/2-1）；

　　dj=f(Q,(i+j)/2，j)；

　　d=min{di,dj}；

　　A:臨界區，存入中位線範圍d的所有點；

　　對A中的所有點按y軸排序；//該過程每次調用都對y進行排序，時間復雜度較大

　　計算A中點間的距離；

}

【2】空間換時間，對集合中的點進行X，Y預排序

算法描述如下：

（1）輸入點集合sa[2n]：為station[n]集合中的點加上標誌flag=ture，為agent[n]中的點加上標誌flag=false。

（2）預排序：對sa集合中的點按X軸從小到大排序；按y軸從小到大排序並記錄下標值。（通過預排序用空間換時間，降低算法的時間復雜度）

（3）遞歸調用求解最近點對的方法

1. 集合中只有一個點，不進行計算
2. 集合中有兩個點，判斷兩個點是否屬於同一集合：是--計算距離；否--不進行計算。
3. 集合中多於兩個點，按x軸排序計算中位數然後將原集合分解為兩個規模基本一致的子集合，遞歸調用。

對於臨界區中的點，因為已經進行了y軸預排序，所以直接進行掃描，對每一個點計算按y軸排序後面的6個點（鴿巢原理）與它的距離，並與兩個子集合中的最小距離進行比較。

算法--分治思想的運用