Box-Cox變換
阿新 • • 發佈:2018-10-18
因變量 ecc 綜合 bce 對數 tin bsp 分享圖片 關系
在這裏
是一個待定變換參數。對於不同的
,所作的變換也不相同,所以Box-Cox變換是一族變換,它包括了平方根變換(
),對數變換(
)和倒數變換(
)等常用變換,對因變量的n個觀測值
,應用上述變換,可得變換後的向量
我們要確定變換參數
,使得
滿足
即要求通過因變量的變換,使得變換過的向量
與回歸自變量具有線性相依關系,誤差也服從正態分布.誤差各分量是等方差且相互獨立,故Box-Cox變換是通過參數
的適當選擇。達到對原來數據的“綜合治理”,使其滿足一個正態線性回歸模型的所有假設條件。
用極大似然方法來確定
,由於
,故對固定的
,
和
的似然函數為
其中,
為變換的Jacobi行列式
當
固定時,
是不依賴於參數
和
的常數因子,
的其余部分關於
和
求導數,令其等於零,可求得
和
的極大似然估計
殘差平方和為
對應的似然最大值為
該式為
的一元函數,通過求它的最大值來確定
,因為
是x的單調函數,問題可轉化為求
的最大值,對式(3)求對數,略去與
無關的常數項,得
其中,
式(4)對Box-Cox變換在計算機上實現帶來很大的方便,因為我們只要求出殘差平方和
的最小值,就可以求出
的最大值,雖然很難找出使
達到最小值的
的解析表達式,但是對一系列的
給定值,通過最普通的求最小二乘估計的回歸程序,很容易計算出對應的
,畫出
關於
的曲線,可在圖上近似地找出
達到最小值的
。
Box-Cox變換變換的具體步驟如下:
(1)對給定的
值,計算
,如果
,用式(6)計算,否則用式(7);
(2)利用式(5)計算殘差平方和
;
(3)對一系列的
值,重復上述步驟,得到相應的殘差平方和
的一串值,以
為橫軸,作出相應的曲線,用直觀的方法,找出使
達到最小值的點
。
(4)利用式(2),求出
。
簡介
Box-Cox變換的一般形式為: 式中 為經Box-Cox變換後得到的新變量, 為原始連續因變量, 為變換參數。以上變換要求原始變量 取值為正,若取值為負時,可先對所有原始數據同加一個常數 使其 為正值,然後再進行以上的變換。對不同的 所作的變換不同。在 時該變換為對數變換, 時為倒數變換,而在 時為平方根變換。Box-Cox變換中參數 的估計有兩種方法:(1)最大似然估計;(2)Bayes方法。通過求解 值,就可以確定具體采用哪種變換形式。變換過程
Box-Cox變換是對回歸因變量Y的如下變換:意義
Box-Cox變換的一個顯著優點是通過求變換參數 來確定變換形式,而這個過程完全基於數據本身而無須任何先驗信息,這無疑比憑經驗或通過嘗試而選用對數、平方根等變換方式要客觀和精確。 Box-Cox變換的目的是為了讓數據滿足線性模型的基本假定,即線性、正態性及方差齊性,然而經Box-Cox變換後數據是否同時滿足了以上假定,仍需要考察驗證 [2] 。Box-Cox變換