線性三角形法確定空間點三維座標
Linear triangulation methods 又稱為線性三角形法,其作用是通過一組空間點在兩個檢視中的平面座標,求解這組空間點的世界座標。
已知條件為:空間點的世界座標X,X在兩個檢視中的平面座標,,以及兩個檢視的投影矩陣,。
求解過程:
1. 根據相機模型可以得出:
,
2. 對上面公式同時進行叉乘計算:
3. 根據向量本身的叉乘為零向量,得:
,
4. 將向量叉乘表示為矩陣形式為:
5. 將按行展開,
6. 展開上面的公式:
7. 可以發現上面的式3和式1式2是線性相關的,只取式1式2可以表示成
8. 此時相當於求解最小二乘問題,後面將講解一下如何使用奇異值分解求解AX=0的最小二乘問題。
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對於AX=b的最小二乘求解:
但是當b=0時,像上面的求解空間點的世界座標,X總是零向量,此時可以使用SVD分解進行求解,下面論證下,SVD求解最小二乘的可行性:證明的最小二乘解是A經過SVD分解後的V的第一列向量。
1. A經過SVD分解後,可以得:
(式1)
其中:
(式2)
而且:
2. 令:
(式3)
則:
3. 若設:
則:
(式4)
將式1代入式4得:
(式5)
因為是正交矩陣,所以V的列向量是的一組標準正交基,故可以由表示:
(式6)
其中,不全為零
將式6代入式5得:
因為所以當時有最小值
此時X等於V的第一列向量