IMU加速度、磁力計校正－－橢球擬合

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博主：shenshikexmu

問題

考慮到IMＵ中，x,y,z軸的度量單位並不相同，假設各軸之間相互直。

那麼加速度感測器在靜止狀態（也就是隻受重力的狀態下），各個姿態只受重力的，x,y,z軸值（假設x,y,z軸相互垂直並且度量單位都一致，如mpu9250三軸的度量單位都是2048，16g量程的情況下），在三維空間中，重力點都在一個球面上，但各軸之間的度量單位都會有偏差，所以各姿態重力點都落在一個橢球面上，橢球的中心，就是加速度的偏移量，也就是校準值。

在磁力計上，由於測量磁場強度，在環境不變的情況下，感測器每個姿態感受磁場強度是相同，所以不需要靜止狀態，磁力計測量的x,y,z軸值，在沒有偏差的情況下，在感測器內部x,y,z軸相互垂直的情況下，在三維空間中組成一個圓球面。但是磁力計存在Hard Iron Distortion和Soft Iron Distortion。使得x,y,z軸度量單位不相同，各軸也並非相互垂直，（說明一下，任意橢球的三個軸都是相互垂直的，幾何上，橢球最長的軸與最短的軸相互垂直，從代數的角度看，對稱正定矩陣

A = R^{'} B R

$A=R'BR$ ，其中B為對角線大於0表示各軸長度，其他位置為0的矩陣，

R

$R$ 為旋轉矩陣，

R^{'} R = I

$R'R=I$ ，所以磁通量的空間座標雖然形成一個橢球，橢球各軸相互垂直，但這個垂直的軸已經不是感測器x,y,z軸了）橢球球心也並非[0,0,0]座標磁通量在三維空間組成的橢球球心，是磁力計的校準值的一部分。

數學模型

所以問題在於給定橢球球面上的點，如何求橢球球心。其實就是一個橢球擬合問題

。

$a_1x^2+a_2y^2+a_3z^2+a_4xy+a_5xz+a_6yz+a_7x+a_8y+a_9z=1$

從幾何的角度表示上式的橢球為

$\begin{bmatrix} x-c_x & y-c_y&z-c_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} &r_{13} \\ r_{21} & r_{22}&r_{23} \\r_{31} &r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 &0 \\ 0 & \lambda_2&0 \\0 &0&\lambda_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} &r_{13} \\ r_{21} & r_{22}&r_{23} \\r_{31} &r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-c_x \\ y-c_y\\z-c_z\end{bmatrix}=1$

上式寫成矩陣形式

$[X-C]M[X-C]^T=1$
$XMX^T-2CMX^T+CMC^T=1$

其中
$X=\begin{bmatrix}x &y & z\end{bmatrix}$ ，表示球面上的點。
$C=\begin{bmatrix}c_x &c_y & c_z\end{bmatrix}$ ，表示球心。
$M = R^{T} B R = {[\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} & a_{4} / 2 & a_{5} / 2 \\ a_{4} / 2 & a_{2} & a_{6} / 2 \\ a_{5} / 2 & a_{6} / 2 & a_{3} \end{matrix}]$

IMU加速度、磁力計校正－－橢球擬合

問題

數學模型

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