馬爾可夫毯（Markov Blanket）

最近接觸到馬爾可夫毯（MarkovBlanket）這個概念，發現網上資料不多，通俗易懂的解釋甚少，查了一些資料後，決定寫一個總結。

提到馬爾可夫毯，就會有一堆從名字上看很相近的概念，比如馬爾可夫鏈（Markov Chain, MC）、隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）、馬爾可夫隨機場（MarkovRandom Field, MRF）等等。其實，馬爾可夫毯與這些概念不同，它是一個局部的概念，而不是一個整體模型級別的概念。以下內容主要參考【何憲. 基於貝葉斯網絡的馬爾可夫毯發現算法研究[D]. 電子科技大學, 2012.】，更多內容請參閱原文獻。

首先看馬爾可夫毯的定義：

這種純符號的定義看起來有些抽象，形象一點說，把一個隨機變量全集U分成互斥的三部分，變量X以及集合A和B，三個子集沒有交集，並集即為全集U；如果說給定集合A時，變量X與集合B沒有任何關系，則稱集合A為變量X的馬爾可夫毯。在式(2-16)中，集合MB即為我說的集合A，{U-MB-{X}}即為我說的集合B，符號“⊥”表示“獨立”，符號“|”表示在給定xx條件下，因此式(2-16)可讀為“在給定集合MB時，變量X與{U-MB-{X}}獨立”。

打個比方說，全集U是整個社會，X是你個人，MB就是你生活圈子裏的人。按照哲學的說法，萬事萬物都是有聯系的；但是，你並不會與社會裏的所有人有什麽關系，而是通過你的生活圈子和他們有間接的關系，即當給定你的生活圈子以後，你和社會其余的人是沒啥關系的（獨立的）。

特殊一點，當以上提到的全集是可信的貝葉斯網絡（Bayesian Network, BN）的各個結點的時候：

這段話說的比較嚴謹，通俗點兒說就是在可信的貝葉斯網絡中，一個節點的馬爾可夫毯包括它的爸媽、它的所有孩子、還有它的配偶，即生它的人和它參與生出來的人及它的現任妻子（因為你會發現孩子並非都是T和配偶共有的^_^）。再通俗點兒說，其實用我國傳統的家庭組成來解釋最為形象，以家裏的男主人為核心（即圖中的T），一家人包括爺爺奶奶（X1、X2，即T的爸媽）、小倆口（T他自己、X8）、孩子（X6、X7，其中X7是小倆口一起生的，X6是T和前妻生的，但現歸T撫養，已經沒前妻啥事兒了^_^）。值得註意的是，每個節點的配偶可以不止一個（即允許一夫多妻制，假如添加一條從X4到X6的箭頭，則X4也是T的配偶），也可以沒有配偶（即單身，比如圖中的X4，雖然有兩個孩子，但目前單身），當然我在這裏假設的性別也是隨時在變的，找誰的馬爾可夫毯，誰就是男性^_^

那麽馬爾可夫毯有什麽用處呢？文中提到了特征選擇（當然這只是用處之一）：

換句話說，一個人的馬爾可夫毯就是和你有關系的所有人（按式2-16定義）。如果想要調查這個人，總不能把全社會的所有人都調查一下吧（大量的特征冗余），其實只要找出這個人的馬爾可夫毯人群調查一下就好了（特征選擇）。特別地，如果這個社會是貝葉斯網絡，馬爾可夫毯人群只包括自己的家人，相當於人只與自己的家人有關系，和其他人沒關系，是一種簡化的模型，具體可以查一查貝葉斯網絡的概念。

那麽怎麽找出這個人的馬爾可夫毯人群呢？那就去看看原文獻吧……

最後簡單談一點貝葉斯網絡，它是一個有向無環圖（Directed Acyclic Graph, DAG），如圖2-2所示，結點之間的連結都是有向箭頭，且不能沿著箭頭走一圈。貝葉斯網絡是馬爾可夫鏈的推廣，馬爾可夫鏈限定了結構只能是一條鏈，而貝葉斯網絡則不再限定結構是一個鏈，但二者都遵守馬爾可夫假設，即一個結點只依賴於它的上一個節點（一階馬爾可夫假設）。有關馬爾可夫鏈、隱馬爾可夫模型、貝葉斯網絡可以看一看《數學之美》，“統計語言模型”一章會涉及到馬爾可夫鏈，專門有一章叫“隱含馬爾可夫模型”，還有一章叫“馬爾可夫鏈的擴展——貝葉斯網絡”，講的比較通俗易懂，此處不再贅述。

文中幾次提到了可信的貝葉斯網絡，在文獻第3章給了可信性的定義：

也不知道上面的定義是不是指的“可信的貝葉斯網絡”中的“可信”，個人理解“可信的”意思可能是指這個貝葉斯網絡是個真正的貝葉斯網絡，即滿足馬爾可夫假設。

來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/78424522

馬爾可夫毯（Markov Blanket）