一、Trie樹

 

1.定義：

通過字串建成一棵樹，這棵樹的節點個數一定是最少的。例如：4個字串"ab","abc","bd","dda"對應的trie樹如下：

其中紅色節點表示存在一個字串是以這個點結尾的。 

一個性質：在樹上，兩個點u,v滿足u是v的祖先，那麼u代表的字串一定是v代表的字串的字首。

 

2.Trie樹的插入：

可以從根節點出發，每次沿著要走的字串往下走，若沒有則建立新節點。 

假如所有字串的長度之和為n，構建這棵trie樹的時間複雜度為O(n)。

int root=1;

int cnt=1;

int p[i][j];//表示從i這個節點沿著j這個字元走，能走到哪個點，走不到就是0

char s[];//儲存字串

for(int i=1;i<=n;i++)

{

   scanf("%s",s);

    int len=strlen(s);

    int now=root;//now表示走到的當前節點，now的初始值為根節點

    for(intj=0;j<len;j++)

    {

       if(p[now][s[j]]>0){

           now=p[now][s[j]];//如果能沿著j節點往下走，直接往下走

        }

        else{

           pow[now][s[j]]=++cnt;

           now=p[now][s[j]];

        }

    }

    v[now]++;//記錄now這個節點被訪問的次數

}

 

3.Trie樹的查詢：

可以看出trie樹中每個節點表示其中一個字串的字首，在做題過程中往往通過這個性質來得到較好的時間複雜度。

 

4.一個例題：

給定n個互不相同的串，求存在多少對數(i,j)（共n²對）滿足第i個串是第j個串的字首。 

所有串的長度之和≤500000。 

解題：根據性質，“在樹上，兩個點u,v滿足u是v的祖先，那麼u代表的字串一定是v代表的字串的字首”。 

我們要滿足一個串是另一個串的字首，也就是說，在trie樹上，這個串對應的位置是另一個串對應的位置的祖先。 

構建這棵trie樹，然後我們列舉每個紅色點，它對答案的貢獻是以它為根的子樹中紅色節點的個數之和。這個東西可以在一開始遍歷這棵樹預處理出來！ 

時間複雜度是線性的。

 

void dfs(int x)

{

    if(v[x]) sum[x]++;

    for(chari='a';i<='z';i++)

    {

        if(p[x][i])//從當前x沿著i這個字元走還能往下走

        {

           dfs(p[x][i]);//往下走

           sum[x]+=sum[p[x][i]];//累加貢獻sum

        }

    }

}

dfs(1);//從根節點開始

5.USACO的某題：

給定n個串，重排字元之間的大小關係，問哪些串有可能成為字典序最小的串。 

所有字串的長度之和<=100000。 

例如，有一個字串，裡面只有'a'~'z'這些字元，預設地，'a'是最小的，'z'是最大的。但是我們可以重新定義字元間的大小關係，比如這樣：b<c<d<y<x<z，從而我們對於一些字串，就按照我們新定義的大小關係來比較字典序大小。 

舉個栗子： 

三個字串"aab","aba","baa"，總共只出現了兩個字元'a'和'b'，所以字元間的大小關係要麼是a<b要麼是a>b，假設a<b，則第一個串"aab"就是字典序最小的串；假設b<a，則第三個串"baa"就是字典序最小的串，但是對於第二個串，無論我們怎麼定義字元間的大小關係，都不可能成為三個字串中字典序最小的。 

解題：首先對這n個串構建trie樹，之後對每個串，從根走向它，這個路程中遇到的所有兄弟在字典序下都比它大。 

對於每個串，從前往後，直接確定這個字元的大小關係，判斷是否是字典序最小。 

以下兩個串都是有可能成為字典序最小的串的： 

abcd…xyza 

abcd…xyzb 

所以有：u是v的字首，則v一定不是字典序最小的串。 

現在問題來了：對於每個串，在什麼條件下，是字典序最小的？？ 

來個栗子：有一些字串（"aabc"，"aac"，"aad"，"ac"，"adb"，"aabb"），構造trie樹如下：

 

對於"aabc"這個串，往下遍歷： 

從深度為2的那一層，我們可以得到：a<c,a<d； 

從深度為3的那一層，我們可以得到：b<c,b<d； 

從深度為4的那一層，我們還可以得到：c<b。 

綜上所述：我們得到了一堆的關係：a<c,a<d；b<c,b<d；c<b，容易看出，這些關係是存在矛盾的，所以無解->"aabc"是不可能成為字典序最小的串。 

所以要想有解，這一堆的關係必須滿足兩個條件：①不存在矛盾②不存在環 

總的來說，就是判斷這一堆的關係是否存在拓撲序！ 

最多有26×26個大小關係，而最多有100000個字串，所以時間複雜度最大為：O(26×26×100000)。

 

二、KMP演算法

 

給定兩個字串A,B，判斷T是否為S的子串（變式：尋找子串B在串A中的位置）。 

要求一個O(|A|+|B|)的做法。 

通常稱A為目標串（或主串），B為模式串。 

演算法過程： 

我們假設串A的長度為n，串B的長度為m，每個字串的開頭下標預設為1。

 

定義兩個變數i和j，這兩個變數共同表示：A[i-j+1~i]與B[1~j]均匹配，即：A中以第i個字元結尾的、長度為j的字串，和B從頭開始長度為j的字串完全匹配。

 

繼續往下匹配：如果i+1和j+1不匹配。

 

現在，就是用到了KMP演算法的核心：它對這一情況的處理方式是減少j，就相當於將子串向右平移。 

平移的目的是為了讓“A[i-j+1~i]與B[1~j]均匹配”這個條件重新滿足。

在上圖中，j一直減小到了0，因為向右平移的過程中，始終不能讓這個條件滿足（最右邊"?"部分已經越界） 

但有時候，將j減少一點點之後，是可以重新滿足條件的，例如：

 

那麼我們將j從7減小到4時，有：

 

這樣就可以完全匹配啦！但是後面還有沒有匹配的機會我們就不管了，至少我們已經保證A[4~7]和B[1~4]完全匹配上了。 

現在考慮一個問題：我們每次把j減小1（一位一位地平移B字串），這樣太慢了，我們在這裡預處理一個next[]陣列，表示當j匹配不下去的時候，我們可以把j減少到next[j]，繼續嘗試匹配。 

預處理過程：讓j自己和自己匹配一下，一旦匹配發現B[k-m+1~k] 和 B[1~m] 匹配，則說明在A與B匹配過程中，j等於k匹配不下去時，j可以嘗試減小到m。 

過程如下：

 

/**************************************///靚麗的分界線

 

一些程式碼：

 

/*核心內容*/

for(int i=1,j=0;i<=n;i++)

{

   while(j&&B[j+1]!= A[i]) j=next[j];

    if(B[j+1]==A[i]) j++;

    if(j==m)

    {

       printf("%d\n", i-j+1);//輸出找到的"B字串在 A中位置"

        //如果要求的是出現次數，這裡也有可能是ans++什麼的

        j=next[j];//讓迴圈進行下去

    }

}

 

for(int i=2,j=0;i<=m;i++)/*預處理next[]陣列*/

{

    while(j&&B[j+1]!=B[i]) j=next[j];

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