經典例題：數字金字塔（Luogu 1216） 

寫一個程式來查詢從最高點到底部任意處結束的路徑，使路徑經過數字的和最大。每一步可以走到左下方的點也可以到達右下方的點。

我們現在這裡討論搜尋如何實現： 

狀態：目前在第x行第y列 

行動：向左走，向右走 

例如：一個底邊為4的三角形共有八種狀態：

我們按照一般的搜尋思路，進行深度優先搜尋：

 

void dfs(int x,int y,int val)

{

    val+=a[x][y];//

加上權值

    if(x==n-1)

    {

        if(val>ans)ans=val;//更新更大的ans

        return;

    }

    dfs(x+1,y,val);//往左邊走

    dfs(x+1,y+1,val);//往右邊走

}

考慮時空效率，DFS確實很暴力啊，有沒有什麼優化呢？？ 

我們引入“冗餘搜尋”這個概念：無用的，不會改變答案的搜尋 

例子：觀察下面兩個例子。用兩種方式都能到達第 3 行第 2 列，只是路徑不同，同時走到這個點兩條路權值和不一樣，其中一個總和為 8，一個總和 12。 

那麼可以觀察可得，總和為 8 的搜尋是冗餘的(不會改變答案)，即使不繼續搜尋，答案也不會改變。 

因為 12 往下搜尋，無論往左往右，都會比

 8 對應的路徑大。

可見，冗餘就是剪枝的“枝”，那麼如何利用冗餘搜尋，來優化程式呢？ 

我們可以對於每一個位置記錄一個值 F，代表搜尋到此位置時，最大的路徑和是多

少，這樣如果搜到某一個位置時候，路徑和不大於記錄值F，說明這個搜尋是冗餘搜尋，直接退出，如果大於，就需要更新F值並且繼續搜尋。 

我們就把這種搜尋叫做記憶化搜尋，根據之前的“記憶”來優化搜尋；在這道題中，每個位置的“記憶”就是最大的路徑和

 

//T1:數字金字塔（記憶化搜尋）

void dfs(int x,int y,int val)

{

    val+=a[x][y];

    // 記憶化過程

    if(val<=f[x][y])return;//發現冗餘搜尋，退出

    f[x][y]=val;//f[x][y]記錄這個點當前最大權值

    if(x==n-1)//如果搜到了最後一個點，ans更新儲存最大值，退出即可

    {

        if(val>ans)ans=val;

        return;

    }

    dfs(x+1,y,val);//繼續搜尋

    dfs(x+1,y+1,val);

} 

 

1、01揹包問題

經典例題：採藥（Luogu 1048） 

辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裡對他說：“孩子，這個山洞裡有一些不同的草藥，採每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裡，你可以採到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。” 

草藥 1 ：時間 71；價值 100

草藥 2 ：時間 69；價值 1

草藥 3 ：時間 1 ；價值 2

@最優選擇：草藥 2+3：總時間 70；總價值 3 

這題是經典的揹包問題，和金字塔問題不同的地方在於：它是有重量限制的。 

我們還是先用記憶化搜尋來思考這個問題： 

狀態：目前已經決定到第x件物品，當前揹包中物品總重量為w，總價值為v； 

行動：這件物品取還是不取； 

約束：物品總重量不超過w（揹包總重量）； 

目標：物品總價值最大； 

比較下列兩種情況： 

狀態相同：x1=x2(當前搜尋到同一件物品)，w1=w2(當前總重量相等)； 

價值不同：但它們的揹包總價值不同，其中v1<v2。（經過不同的路徑到達同一個點，但是後者的val更大）

則我們可以說狀態1為冗餘的，因為它肯定比狀態2要差。

*記憶化：對於每個狀態（x，w），記錄對應的v的最大值。

 

//T5:採藥（記憶化搜尋）

void dfs(int t,int x,int val)//t為剩餘時間，x為當前決定的第幾株草藥，val為總價值

{

    //記憶化

    if(val<=f[t][x])return;

    f[t][x]=val;

    if(x==n)//把草藥採摘完了，直接返回

    {

        if(val>ans)ans=val;//更新最大值ans

        return;

    }

    dfs(t,x+1,val);

    if(w[x]<=t)dfs(t-w[x],x+1,val+v[x]);//如果我們還有時間，繼續採摘！

}

 

那好的，說完記憶化搜尋我們回到正題：動態規劃啦！記憶化搜尋是DP的基礎。 

我們再回到數字金字塔這個問題來，下圖的黑色三角形是我們記憶化搜尋的路徑，我們想想，是不是可以不通過記憶化搜尋就能得到這個黑色三角形？？

最優性：設走到某一個位置的時候，它達到了路徑最大值，那麼在這之前，它走的每一步都是最大值。 

-考慮這條最優的路徑：每一步均達到了最大值

 

最優性的好處：要達到一個位置的最優值，它的前一步也一定是最優的。 

-考慮圖中位置，如果它要到達最優值，有兩個選擇，從左上方或者右上方的最優值得到：

 

所以從這裡，定義動態規劃（DP）：只記錄狀態的最優值，並用最優值來推匯出其他的最優值。 

記錄 F[i][j] 為第 i 行第 j 列的路徑最大值，有兩種方法可以推導：（兩個分支兩種狀態，選取最大） 

@順推：用 F[i][j] 來計算 F[i+1][j],F[i+1][j+1] 

@逆推：用 F[i-1][j],F[i-1][j-1] 來計算 F[i][j] 

這兩種思考方法也是動態規劃中最基本的兩種方法，解決絕大部分DP我們都可以採用這樣的方法。

  

//T2:數字金字塔-順推（有點類似於記憶化搜尋的思路）

f[0][0]=a[0][0];

for(int i=0;i<n-1;++i)

for(int j=0;j<=i;++j)//f陣列為最優值路徑（黑色金字塔，a為源資料陣列（紫色金字塔）

{

    //分別用最優值來更新左下方和右下方

   f[i+1][j]=max(f[i+1][j],f[i][j]+a[i+1][j]);//和當前的f[i+1][j]比較

   f[i+1][j+1]=max(f[i+1][j+1],f[i][j]+a[i+1][j+1]);//和當前的f[i+1][j+1]比較

}

 

//T4:數字金字塔-逆推（自頂向下）

f[0][0]=a[0][0];

for(int i=0;i<n;++i)//單獨處理

{

   f[i][0]=f[i-1][0]+a[i][0];//最左的位置沒有左上方

   f[i][i]=f[i-1][i-1]+a[i][i];//最右的位置沒有右上方

    for(intj=1;j<i;++j)//在左上方和右上方取較大的

   f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];

}

//答案可能是最後一行的任意一列

ans=0;

for(int i=0;i<n;++i)

ans=max(ans,f[n-1][i]);

 

*轉移方程：最優值之間的推導公式。 

@順推： 

F[i+1][j]= MAX (F[i][j] + a[i+1][j]); 

F[i+1][j+1]= MAX (F[i][j] + a[i+1][j+1]); 

@逆推： 

F[i][j]= MAX (F[i-1][j], F[i-1][j-1]) + a[i][j]; (注意！逆推時要注意邊界情況！ )

順推和逆推本質上是一樣的（複雜度一致）；順推和搜尋的順序類似；而逆推則是將順序反過來；順推考慮的是“我這個狀態的下一步去哪裡” ，逆推的考慮的是“從什麼狀態可以到達我這裡” 。同時在轉移的過程中我們要時刻注意邊界情況。 

我們還可以改變搜尋順序：

 

//T3:數字金字塔-逆推/路徑自底向上

//改變順序：記錄從底部向上走的路徑最優值

for(int i=0;i<n;++i)

f[n-1][i]=a[n-1][i];//備份底部自己這一行

//逆推過程：可以從左下方或右下方走過來；沒有邊界情況

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