組合數學-普通型生成函式(母函式)-hdu2082 找單詞
Problem Description
假設有x1個字母A, x2個字母B,..... x26個字母Z,同時假設字母A的價值為1,字母B的價值為2,..... 字母Z的價值為26。那麼,對於給定的字母,可以找到多少價值<=50的單詞呢?單詞的價值就是組成一個單詞的所有字母的價值之和,比如,單詞ACM的價值是1+3+14=18,單詞HDU的價值是8+4+21=33。(組成的單詞與排列順序無關,比如ACM與CMA認為是同一個單詞)。 Input 輸入首先是一個整數N,代表測試例項的個數。然後包括N行資料,每行包括26個<=20的整數x1,x2,.....x26. Output 對於每個測試例項,請輸出能找到的總價值<=50的單詞數,每個例項的輸出佔一行。 Sample Input 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9 Sample Output 7 379297
知識點:
母函式(生成函式):
生成函式有普通型生成函式和指數型生成函式兩種(本題是普通型)。
形式上,普通型母函式用於解決多重集的組合問題,
指數型母函式用於解決多重集的排列問題。
母函式還可以解決遞迴數列的通項問題(例如使用母函式解決斐波那契數列,Catalan數的通項公式)。
普通母函式:
構造母函式G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*, 則稱G(x)是數列a0,a1…an的母函式。
通常普通母函式用來解多重集的組合問題,其思想就是構造一個函式來解決問題,一般過程如下:
1.建立模型:物品n種,每種數量分別為k1,k2,..kn個,每種物品又有一個屬性值p1,p2,…pn,(如本題的字母價值),
求屬性值和
為m的物品組合方法數。(若數量ki無窮 也成立,即對應下面式子中第ki項的指數一直到無窮)2.構造母函式:G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) (一)
=a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk* (設kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) (二)
G(x)含義: ak 為屬性值和為k的組合方法數。
母函式利用的思想:
1.把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來。
2.把離散數列和冪級數對應起來,把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係,最後由冪級數形式來
確定離散數列的構造。
程式碼實現:
求G(x)時一項一項累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最後令G=G*(1+++…)。
題解:
1.建模:物品(字母)26種,每種數量x1,x2…x26,屬性值為1,2,3..26,求屬性值和<=50的組合方法數。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; long long a[60],b[60]; int main() { int n; cin>>n; while(n--) { memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); a[0]=1; int x; for(int i=1;i<=26;i++) { scanf("%d",&x); for(int j=0;j<=50;j++) { for(int k=0;k<=x&&(j+k*i<=50);k++) { b[j+k*i]+=a[j]; } } for(int j=0;j<=50;j++) { a[j]=b[j]; b[j]=0; } } long long ans=0; for(int i=1;i<=50;i++) ans+=a[i]; cout<<ans<<endl; } }AC Code