生成函式（母函式）有普通生成函式和指數生成函式：

1.普通生成函式用於解決多重集的組合問題

2.指數型母函式用於解決多重集的排列問題

母函式可以解決遞迴數列的通項問題：斐波那契數列、卡特蘭數列等

普通母函式：

    構造母函式G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*，  則稱G(x)是數列a0,a1…an的母函式。

    通常普通母函式用來解多重集的組合問題，其思想就是構造一個函式來解決問題，一般過程如下：

    1.建立模型：

物品n種,每種數量分別為k1,k2,..kn個，每種物品又有一個屬性值p1,p2,…pn,(如本題的字母價值)，求屬性值和

    2.構造母函式：

G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…)         （一）

          =a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk*     (設kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn)         （二）

                  G(x)含義： ak 為屬性值和為k的組合方法數。

母函式利用的思想：

    1.把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來。

    2.把離散數列和冪級數對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來

       確定離散數列的構造。

程式碼實現：

    求G(x)時一項一項累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最後令G=G*(1+++…)。

普通母函式通常解決類似如下的問題：

給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？

某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。

某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。

……

解題過程：

首先要寫出表示式，通常是多項式的乘積，每項由多個  組成。

通用表示式為：

(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))

(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))

                                        ...............

(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))

K對應具體問題中物品的種類數。

V[i]表示該乘積表示式第 i 個因子的權重，對應具體問題的每個物品的價值或者權重

n1[i]表示該乘積表示式第 i 個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個

n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數，對應具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個

解題的關鍵是要確定V，N1，N2陣列的值

模板

//a為計算結果，b為中間結果
int a[MAX],b[MAX];
memset(a,0,sizeof a);
a[0]=1;
for(int i=1;i<=k;i++)//迴圈每個因子
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=p;j++)//迴圈每個因子的每一項
        for(int k=0;k+j*v[i]<=p;k++)//迴圈a的每一項
         b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應位
    memccpy(a,b,sizeof b);//b賦值給a        
}

p是可能的最大指數，拿鈔票組合的題來說，如果求15元有多少種組合，那麼p就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼p就是所有錢加起來的和。

用一個last變數記錄目前最大的指數，這樣只需要在0--last上計算

改進模板

//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
int last=0;
a[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {//迴圈每個因子
	int next=min(last+n2[i]*v[i],p);//計算下一次的last
	for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=next;j++)//迴圈每個因子的每一項
		for(int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=next;k++)//迴圈a的每一項
			b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應位
	for(int k=0;k<maxn;k++) {//賦值
		a[k]=b[k]%mod;
		b[k]=0;
	}
	last=next;//更新last
}

例題

一、hdu 1085和hdu 1171兩題套用了第二個模板，省略了程式碼中二三層迴圈裡關於last2的條件（其實也可以加上）。

詳見：

hdu1085 ：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041467

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
	public static int maxn=8010;
	public static void main(String[] args) {
		int[] a=new int[maxn];//儲存結果，a[i]表示組成i種水果的方案數為a[i]
		int[] b=new int[maxn];//中間結果
		int[] n1=new int[maxn];//第i種水果最少的個數
		int[] n2=new int[maxn];//第i種水果最多的個數
		int[] v=new int[maxn];//第i種水果的價值
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		
		//int T=cin.nextInt();      
		while(cin.hasNext()) {
			
			for(int i=0;i<maxn;i++) {
				a[i]=0;
				b[i]=0;
				n1[i]=0;
				n2[i]=0;
			}
			v[1]=1;v[2]=2;v[3]=5;
			
			int sum=0;
			for(int i=1;i<=3;i++) {
				n2[i]=cin.nextInt();
				sum+=n2[i];
			}
			
			if(sum==0)	break;
			
			a[0]=1;
			int p=0;
		//要求最小不能拼出的錢，p就是所有錢加起來的和
		for(int i=1;i<=3;i++)
			p=p+v[i]*n2[i];
		
			for(int i=1;i<=3;i++) {
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					b[k]=0;
				
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=p;j++)
					for(int k=0;k+j*v[i]<=p;k++)
						b[k+j*v[i]]+=a[k];
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					a[k]=b[k];
			}
			int ans=0;
			//遍歷找出方案數為0的錢幣組合
			for(int i=1;i<maxn;i++)
				if(a[i]==0) {
					ans=i;
					break;
				}
				
			System.out.println(ans);
		}
		cin.close();
	}
}

hdu 1171：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041709

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
	public static int maxn=250000,maxm=60;
	public static void main(String[] args) {
		int[] a=new int[maxn];//儲存結果，a[i]表示組成i種水果的方案數為a[i]
		int[] b=new int[maxn];//中間結果
		
		int[] n1=new int[maxm];//第i種水果最少的個數
		int[] n2=new int[maxm];//第i種水果最多的個數
		int[] v=new int[maxm];//第i種水果的價值
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		
		//int T=cin.nextInt();      
		while(cin.hasNext()) {
			
			for(int i=0;i<maxn;i++) {
				a[i]=0;
				b[i]=0;
				
			}
			
			for(int i=0;i<maxm;i++) {
				n1[i]=0;
				n2[i]=0;
				v[i]=0;
			}
			
			int n=cin.nextInt();
			if(n<0)	break;
			
			int sum=0;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				v[i]=cin.nextInt();
				n2[i]=cin.nextInt();
				sum+=v[i]*n2[i];
			}
	
			int p=sum;
			//if(sum%2==1)	p++;
			
			a[0]=1;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					b[k]=0;
				
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=p;j++)
					for(int k=0;k+j*v[i]<=p;k++)
						b[k+j*v[i]]+=a[k];
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					a[k]=b[k];
			}
			int ans=0;
			for(int i=p/2;i>=0;i--) {
				if(a[i]!=0) {
					ans=i;
					break;
				}
			}
			System.out.println(p-ans+" "+ans);
		}
		cin.close();
	}
}

二、hdu 1398套用了第一個模板，因為n2中每一項為無窮大，所以n2陣列就省略了。

詳見：

hdu 1398：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041815

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static int maxn=300*300+10;
	static int[] a=new int[maxn];
	static int[] b=new int[maxn];
	static int[] v=new int[30];
	static void init() {
		for(int i=0;i<maxn;i++) {
			a[i]=0;b[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=17;i++)
			v[i]=i*i;
		
		a[0]=1;
		for(int i=1;i<=17;i++) {
			for(int j=0;j*v[i]<=300;j++)
				for(int k=0;k+j*v[i]<=300;k++)
					b[k+j*v[i]]+=a[k];
			for(int k=0;k<maxn;k++) {
				a[k]=b[k];
				b[k]=0;
			}
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		init();
		while(cin.hasNext()) {
			int n=cin.nextInt();
			if(n==0) break;
			System.out.println(a[n]);
		}
		cin.close();
	}
}

三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三題直接套用了第二個模板。

詳見：

hdu2079

http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042045

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static int maxn=400;
	static int[] a=new int[maxn];
	static int[] b=new int[maxn];
	static int[] v=new int[maxn];
	static int[] n1=new int[maxn];
	static int[] n2=new int[maxn];
	
	static void init() {
		for(int i=0;i<maxn;i++) {
			a[i]=0;b[i]=0;
			v[i]=0;
			n1[i]=0;n2[i]=0;
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		int T=cin.nextInt();
		while(T!=0) {
			T--;
			init();
			int p=cin.nextInt();
			int n=cin.nextInt();
			
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				v[i]=cin.nextInt();
				n2[i]=cin.nextInt();
			}
			a[0]=1;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=p;j++)
					for(int k=0;k+j*v[i]<=p;k++)
						b[k+j*v[i]]+=a[k];
				for(int k=0;k<maxn;k++) {
					a[k]=b[k];
					b[k]=0;
				}
			}
			System.out.println(a[p]);
		}
		cin.close();
	}
}

hdu2082:

http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042253

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
	public static int maxn=110;
	public static void main(String[] args) {
		int[] a=new int[maxn];//儲存結果，a[i]表示組成i種水果的方案數為a[i]
		int[] b=new int[maxn];//中間結果
		int[] n1=new int[maxn];//第i種水果最少的個數
		int[] n2=new int[maxn];//第i種水果最多的個數
		int[] v=new int[maxn];//第i種水果的價值
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		
		int T=cin.nextInt();      
		while(T!=0) {
			T--;
			for(int i=0;i<maxn;i++) {
				a[i]=0;
				b[i]=0;
				n1[i]=0;
				n2[i]=0;
				v[i]=i;
			}
			
			for(int i=1;i<=26;i++)
				n2[i]=cin.nextInt();
			
			a[0]=1;
			int p=50;
			for(int i=1;i<=26;i++) {
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					b[k]=0;
				
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=p;j++)
					for(int k=0;k+j*v[i]<=p;k++)
						b[k+v[i]*j]+=a[k];
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					a[k]=b[k];
			}
			long ans=0;
			for(int i=1;i<=p;i++)
				ans+=a[i];
			System.out.println(ans);
		}
		cin.close();
	}
}

hdu 2110：

http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042421

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	static int mod=10000;
	public static int maxn=10000+7;
	static long[] a=new long[maxn];
	static long[] b=new long[maxn];
	static int[] v=new int[maxn];
	static int[] n1=new int[maxn];
	static int[] n2=new int[maxn];
	
static int min(int a,int b) {
	return a<b?a:b;
}
	static void init() {
		for(int i=0;i<maxn;i++) {
			a[i]=0;b[i]=0;
			v[i]=0;
			n1[i]=0;n2[i]=0;
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		//int T=cin.nextInt();
		while(cin.hasNext()) {
			init();
		
			int n=cin.nextInt();
			if(n==0)	break;
			int p=0;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				v[i]=cin.nextInt();
				n2[i]=cin.nextInt();
				p+=v[i]*n2[i];
			}
			if(p%3!=0) {
				System.out.println("sorry");
				continue;
			}
			p/=3;
			int last=0;
			a[0]=1;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				int next=min(last+n2[i]*v[i],p);//計算下一次的last
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=next;j++)
					for(int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=next;k++)
						b[k+j*v[i]]+=a[k];
				for(int k=0;k<maxn;k++) {
					a[k]=b[k]%mod;
					b[k]=0;
				}
				last=next;//更新last
			}
			if(a[p]!=0)
			System.out.println(a[p]%mod);
			else
				System.out.println("sorry");
		}
		cin.close();
	}
}

另外，至於什麼時候用第一個模板，什麼時候用第二個模板，就看題目規模。 通常情況下，第一個模板就夠用了，上面的那些用第二個模板的題目用第一個模板同樣能AC。 但如果資料規模比較大（通常不會有這種情況），就要使用第二個模板了。 以上題目n1均為0。

四、hdu 2152是一道n1不為0的題目，我在這裡分別套用第一個和第二個模板解題。

詳見： hdu 2152：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042497

C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=130;
int a[maxn],b[maxn];
int n1[maxn],n2[maxn];
int v[maxn];
void init()
{
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(b,0,sizeof b);
    memset(n1,0,sizeof n1);
    memset(n2,0,sizeof n2);
}
int main()
{
  for(int i=0;i<maxn;i++)
    v[i]=1;
  int n,m;
  while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&n1[i],&n2[i]);
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(b,0,sizeof b);
        for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=m;j++)
            for(int k=0;k+j*v[i]<=m;k++)
            b[k+v[i]*j]+=a[k];
        //memcpy(a,b,sizeof b);
        for(int k=0;k<maxn;k++)
            a[k]=b[k];
    }
    printf("%d\n",a[m]);
  }
}

Java

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
	public static int maxn=110;
	public static void main(String[] args) {
		int[] a=new int[maxn];//儲存結果，a[i]表示組成i種水果的方案數為a[i]
		int[] b=new int[maxn];//中間結果
		int[] n1=new int[maxn];//第i種水果最少的個數
		int[] n2=new int[maxn];//第i種水果最多的個數
		int[] v=new int[maxn];//第i種水果的價值
		Scanner cin=new Scanner(System.in);
		
		//int T=cin.nextInt();      
		while(cin.hasNext()) {
			for(int i=0;i<maxn;i++) {
				a[i]=0;b[i]=0;n1[i]=0;n2[i]=0;
				v[i]=1;
			}
			int n=cin.nextInt();
			int m=cin.nextInt();
			
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				n1[i]=cin.nextInt();
				n2[i]=cin.nextInt();
			}
			
			a[0]=1;
			for(int i=1;i<=n;i++) {//迴圈每一個因子
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)
					b[k]=0;
				
				for(int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=m;j++)//迴圈每個因子的每一項
					for(int k=0;k+j*v[i]<=m;k++)//迴圈a的每一項
						b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應的位
				
				for(int k=0;k<maxn;k++)//b賦值給a
					a[k]=b[k];
			}
			System.out.println(a[m]);
		}
		cin.close();
	}
}