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組合數學-球盒模型-母函式

阿新 • • 發佈：2018-12-11

        球盒模型指的是把球放入盒子裡的題目模型（強行解釋）

廣義組合數

生成函式

        分為盒子同或不同，球同或不同，盒子允許空或不空

        所以一共八種問題

        假設有n個球m個盒子

盒異，球同，盒子允許空 C_{m+n-1}^{m-1}        

盒異，球同，盒不允許空 C_{n-1}^{m-1}

盒同，球同，盒子允許空  \prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}} 中的係數

盒同，球同，盒不允許空  \prod _{j=1}^{m}\frac{x^j}{1-x^{j}}  中的係數

-----------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------

盒異，球異，盒子允許空  m^n         

盒異，球異，盒不允許空  \sum _{k=0}^{m}(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)

盒同，球異，盒子允許空   根據下一問列舉盒子個數

盒同，球異，盒不允許空  \sum _{k=0}^m\frac{(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)}{m!}

證明：

盒異，球同，盒子允許空 

        f(x) \\=(x^0+x^1+x^2+x^3...)^m \\=(\frac{1}{1-x})^m \\=(1-x)^{-m}

        ans \\=C_{-m}^{n}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=-m-n+1}^{-m}k}{n!}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=m}^{m+n-1}k}{n!}x^n \\=C_{m+n-1}^{m-1}x^n

盒異，球同，盒不允許空

                 隔板法 C_{n-1}^{m-1}

盒同，球同，盒子允許空

   f(x)\\=(x^{1*0}+x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*0}+x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*0}+x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=0}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}}   

盒同，球同，盒子不允許空

                f(x)\\=(x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=1}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{x^{j}}{1-x^{j}}

盒子異，球異，盒子允許空

                           m^n   

盒子異，球異，盒子允許空   

                f(x) \\=(\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...)^{m} \\=(e^{x}-1)^{m} \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(e^{x})^{k}) \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(1+\frac{(kx)^{1}}{1!}+\frac{(kx)^{2}}{2!}+\frac{(kx)^{3}}{3!}+...))

                ans\\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}\frac{(kx)^{n}}{n!}) \\= \sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}k^n) \frac{x^n}{n!}

盒同，球異，盒子允許空 

                        設之為B(n,m)

                        列舉和n號球在一起的數量k

                        k=0->B(n-1,m-1)

                        k=1->B(n-2,m-1)

                        ...

                       B(n,m)=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(n-i-1,m-1) =\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(i,m-1)

盒同，球異，盒不允許空 

                        相當於異，球異，盒不允許空  去全排                     

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