[NOI2010]能量採集

題目描述

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。

棟棟的植物種得非常整齊，一共有\(n\)列，每列有\(m\)棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標\((x, y)\)來表示，其中\(x\)的範圍是\(1\)至\(n\)，表示是在第\(x\)列，\(y\)的範圍是\(1\)至\(m\)，表示是在第\(x\)列的第\(y\)棵。

由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是\((0,0)\)。

能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器連線而成的線段上有\(k\)

下面給出了一個能量採集的例子，其中\(n = 5\)，\(m = 4\)，一共有\(20\)棵植物，在每棵植物上標明瞭能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。

在這個例子中，總共產生了\(36\)的能量損失。

輸入輸出格式

輸入格式：

僅包含一行，為兩個整數\(n\)和\(m\)。

輸出格式：

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

說明

對於\(10\%\)的資料：\(1 ≤ n, m ≤ 10\)；
對於\(50\%\)的資料：\(1 ≤ n, m ≤ 100\)；
對於\(80\%\)的資料：\(1 ≤ n, m ≤ 1000\)；
對於\(90\%\)的資料：\(1 ≤ n, m ≤ 10,000\)；
對於\(100\%\)的資料：\(1 ≤ n, m ≤ 100,000\)。

題意：求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2 \times gcd(i,j)-1\]

直接暴力推式子了

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]\]

設\(a=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,b=\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\)

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(i,j)=1]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{d=1}^{min(i,j)}\mu(d)[d|gcd(i,j)]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[d|gcd(i,j)]\]

\[=\sum_{k=1}^{min(n,m)}k\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\lfloor\frac{a}{d}\rfloor\lfloor\frac{b}{d}\rfloor\]

到這裡雖然不夠優，但是顯然已經可以了。

複雜度:\(O(\sum\limits_{i=1}^ni^{\frac{1}{2}})\)其實就是\(O(n\sqrt n)\)

Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=1e5;
ll ans=0;
int mu[N+10],pri[N+10],ispri[N+10],cnt;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            mu[i]=-1;
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int n,m;
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int k=1;k<=min(n,m);k++)
    {
        int a=n/k,b=m/k;
        ll sum=0;
        for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
        {
            r=min(a/(a/l),b/(b/l));
            sum+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);
        }
        ans+=sum*k;
    }
    printf("%lld\n",ans*2ll-1ll*n*m);
    return 0;
}

2018.10.21