1. 偏微分方程

　　偏微分方程（Partial Differential Equation，簡寫為PDE）是未知量包含多個獨立變數、方程包含偏微分運算的一類微分方程。

　　在物理模型中，最常見的情況是：需要求解的未知量含有時間變數(t)和空間變數（視維數變化）。最簡單的偏微分方程包括二維穩定問題（只和空間變數x,y有關）和一維傳導/波動問題（只和一維空間變數x和時間t有關）。

2. 二階線性偏微分方程的一般討論

　　一般地，任意的二維二階線性偏微分方程都可以寫成如下形式：

$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y}+fu(x,y)+g(x,y)=0$$　　根據二階項係數，該型別的偏微分方程可以分為以下形式：

　　$\Delta = b^2-4ac>0\quad \Rightarrow \quad $雙曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恆系統

　　$\Delta = b^2-4ac=0\quad \Rightarrow \quad $拋物型(parabolic)方程，一般描述耗散系統

　　$\Delta = b^2-4ac<0\quad \Rightarrow \quad $橢圓型(elliptic)方程，一般描述穩定狀態和系統

　　常見的經典二階線性偏微分方程：

　　1) 波動方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{1}{a^2}\nabla ^2 u=f(x,y,z,t)$，一維的波動方程 $\Delta = \frac{1}{a^2}>0$ 屬雙曲型方程；

　　2) 熱傳導方程：$\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla ^2 u = f(x,y,z,t)$，$\Delta = 0$ 屬拋物型方程；

　　3) 泊松方程：$\nabla^2 u = f(x,y,z,t)$ 其齊次形式 $\nabla^2 u = 0$ 稱為拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的橢圓型方程。

3. 初始條件和邊界條件

　　正如常微分方程一樣，單獨的偏微分方程是不能定解的；需要構成定解問題，還需要初始條件和邊界條件的加持：或者需要給出一定個數的初始條件，或者需要給出一定個數的邊界條件，或者給出由初始條件和邊界條件構成的混合條件。

邊界條件

　　邊界條件規定了未知量 $u$ 在偏微分方程邊界上的取值/偏導數等資訊。如果 $u$ 的偏微分方程的區域關於自變數$x$的邊界是$x=x_1$和$x=x_2$（對於二維區域來說，說明該區域夾在兩條平行線間；對於三維區域，則夾在兩個平面間），那麼下式：$$u(x,y)|_{x=x_1}=u_1(y),\quad u(x,y)|_{x=x_2}=u_2(y)$$　　就構成了一組邊界條件。

　　一般地說，邊介面的形狀記作$\Sigma$，則比如：

　　1) 第一類邊界條件——狄利克雷(Dirichlet)條件（給出未知量取值）：$u(x,y)|_{\Sigma}=\phi(x,y)$

　　2)  第二類邊界條件——諾伊曼(Neumann)條件（給出未知量的偏導數值）：$\frac{\partial u(x,y)}{\partial n}=\psi(x,y)$

　　3)  第三類邊界條件——斯托克斯(Stokes)條件（給出未知量取值和偏導數的線性疊加）：$\alpha u(x,y)|_{\Sigma} + \beta \frac{\partial u(x,y)}{\partial n} = \gamma(x,y)$

　　邊界條件的型別非常豐富，只要是給出未知量在邊界上行為的條件都是邊界條件，一些常用但比較特別的比如：

　　a) 規定無窮遠處未知量$u$為零：$\lim\limits_{r\rightarrow \infty} u(x,y) = 0,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}$；

　　b) 或者正則條件，給出未知量在無窮遠處的行為或漸近形式：$u(r)\sim \frac 1 r$

　　b) 規定某點處未知量$u$有界：$u(x_0, y_0)$有界

初始條件

　　初始條件規定了未知量 $u$ 在某個獨立變數取特定值時的取值/偏導數值等資訊。比如關於獨立變數$x,y$的未知量$u(x,y)$：$$u(x,y)|_{x=x_0}=u_0(y), \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=x_0}=f(y)$$　　就構成了初始條件。有時，初始條件給出的也是一個變數處在邊界上的情形，實際上也可以理解為一種邊界條件，但是初始條件是“單邊條件”，即只給出一個變數在一個點的值，而不會給出在整個邊界上的資訊，因此二者很容易區分。

　　初始條件得名的原因是，給出初始條件往往是對於時間變數t，其物理意義為初始時刻系統的狀態。