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代數的組成
1.載體，即非空集合
2.定義在載體上的封閉運算
3.代數常元，即載體上某些運算的特異元素（不一定存在）
代數通常用載體、運算和常陣列成的n重組表示。

同時具備如下兩條規則的幾個代數稱為同種類的：
1.如果兩個代數包含相同個數的運算和常數，且對應運算的元數相同，則稱兩個代數有相同的構成成分。
2.要有一組相同的稱為公理的規則
對同一種類的代數，根據它的公理推出的一切定理，對該種類的一切代數都成立。

代數運算
設A,B是非空集合，是從到的一個對映，則稱為從集合到B的一個n元代數運算，簡稱運算，n稱為代數運算的階。

運算的封閉性
設是從到的一個n元運算，若，則稱該n元運算在集合A上是封閉的。
特別地，設f是從A到B的對映，則稱f是一個在A上封閉的一元運算。設f是從A²到B的對映，則稱f是一個在A上的封閉的二元運算。

交換律
設*是定義在集合A上的一個二元運算，如果任取x,y∈A，都有x*y=y*x，則稱該二元運算是可交換的。

結合律
設*是定義在集合A上的一個二元運算，如果對於任意x,y,z∈A ，都有x*(y*z)=(x*y)*z,則稱該二元運算是可結合的。

分配律
設*和+是定義在集合A上的二元運算，如果對任意的a,b,c∈A，都有
*對+左可分配，即a*(b+c)=(a*b)+(a*c)
*對+右可分配，即(b+c)*a=(b*a)+(c*a)
則稱*對+是可分配的。

吸收律
設*和+是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的a,b∈A ,都有
*對+左可吸收，即a*(a+b)=a
*對+右可吸收，即(a+b)*a=a
則稱運算*對+滿足吸收律。

等冪律
設*是定義在集合A上的一個二元運算，如果對於任意x∈A，都有x*x=x，則稱運算*滿足等冪律。

消去律
設*是定義在集合上的一個二元運算，元素a∈A，如果對於任意x,y∈A,都有
a是左可消去的，即                          
a是右可消去的，即

代數常元
代數系統中，針對某一代數運算表現出具有某些特殊性質的元素稱為代數常元，常見的有：么元、零元、逆元、等冪元等。

么元
左么元：設*是定義在集合A上的一個二元運算，若存在元素e，對於A中的任意元素x，都有e*x=x，則稱e為A中關於運算*的左么元。 
右么元：設*是定義在集合A上的一個二元運算，若存在元素e，對於A中的任意元素元素x，都有x*e=x，則稱e為A中關於運算*的右么元。
么元：設*是定義在集合A上一個二元運算，若存在元素e，它既是左么元，又是右么元，即對於A中的任意元素x，都有e*x=x*e=x，則稱e為A中關於運算*的么元，亦稱作單位元。
相關定理：
設*是定義在集合A上的一個二元運算，且在A中有關於運算*的左么元el和右么元er，則el=er，且A中的么元是唯一的。
證明：設el和er分別是A中關於運算*的左么元和右么元，則有el=el*er=er=e，假設另有么元e'∈A, 則有e'=e'*e=e，結論得證。

零元
左零元：設*是定義在集合A上的一個二元運算，若存在元素θ∈A，對於A中的任意元素x，都有θ*x=θ，則稱θ為A中關於運算*的左零元。
右零元：設*是定義在集合A上的一個二元運算，若存在元素θ∈A，對於A中的任意元素x，都有x*θ=θ，則稱θ為A中關於運算*的右零元。
零元：設*是定義在集合A上一個二元運算，若存在元素θ，它既是左零元，又是右零元，即對於A中的任意元素x，都有θ* x=x*θ=θ，則稱θ為A中關於運算*的零元。
相關定理：
設*是定義在集合A上一個二元運算，且在A中有關於運算*的左零元θl和右零元θr,那麼θl=θr，且A中的零元是唯一的。
證明：設θl和θr分別是A中關於運算*的左零元和右零元，則有θr=θl*θr=θl=θ，假設另有零元θ'∈A, 則有θ'=θ'*θ=θ，結論得證。

逆元
設<A,*>是一個代數系統，*是定義在集合A上的一個二元運算，e是A中關於運算*的么元。存在x,y∈A，如果x*y=e，那麼關於運算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。如果x*y=y*x=e，那麼關於運算*，x與y互為逆元。x的逆元記為。  
相關定理：
設<A,*>是一個代數系統，*是定義在集合A上的一個二元運算，e是A中關於運算*的么元。若運算*是可結合的，元素x有左逆元l和右逆元r，則l=r，且逆元唯一。
證明：因為e是A中關於運算*的么元且x有左逆元l和右逆元r，則有l*x=x*r=e，又運算是可結合的，所以l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r。設元素x有兩個逆元b和c，那麼b=b*e=b*(x*c)=(b*x)*c=e*c=c，因此，x的逆元是唯一的。