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同餘關係

運算上的同餘關係：
設A=<S,*,Δ>是一個代數系統，~是載體S上的等價關係，任取a,b,c∈S。
(1)當a~b時，若Δa~Δb，則等價關係~在一元運算Δ下是可保持的，稱~是關於運算Δ的同餘關係。
(2)當a~b和c~d時，若有a*c~b*d，則等價關係~在二元運算*下是可保持的，稱~是關於運算*的同餘關係。
等價關係在運算下的可保持性是指參與運算的對應元素，如果在同一個等價類中，則運算後所得的結果也必在同一個等價類中。

代數系統上的同餘關係：
設A=<S,*,Δ>是一個代數系統，~是載體S上的等價關係，若~在A上的所有運算下都是可保持的，則稱~為代數系統A上的同餘關係。 同餘關係使得元素所在的等價類在運算上可以作為一個整體來看待。

定理：
設g是從代數系統A=<S,*,Δ,k>到A’=<S’,*’,Δ’,k’>的一個同態對映，如果在A上定義等價關係R為：<a,b>∈R，當且僅當g(a)=g(b)，則R是A上的一個同餘關係。
證明：(i)若a~b,則g(a)=g(b)，Δ’g(a)=Δ’g(b)。又g是從A到A’的同態對映，所以有Δ’g(a)=g(Δa)=Δ’g(b)=g(Δb) 故Δa~Δb，這說明~在運算Δ下是可保持的。 (ii)若a~b且c~d,且有g(a)=g(b),g(c)=g(d),所以 g(a)*’g(c)=g(b)*’g(d),又因g是從A到A’的同態對映，所以有g(a)*’g(c)=g(a*c)=g(b)*’g(d)=g(b*d)，故a*c~b*d,這說明等價關係~在運算*下是可保持的。 由(i)(ii)可得，~是代數系統A上的同餘關係。