從大整數乘法的實現到 Karatsuba 快速演算法
阿新 • • 發佈:2019-02-15
Karatsuba 快速乘積演算法是具有獨特合併過程(combine/merge)的分治演算法(Karatsuba 是俄羅斯人)。此演算法主要是對兩個整數進行相乘,並不適用於低位數(如 int 的 32 位的整數)。
1. 大整數乘法的實現
所謂的大整數,就是超出程式語言關於 integral 型別的最大值的那些位數很大的數,也即如果用這些型別進行儲存的話,會造成數值溢位(arithmetic overflow),此時可以使用 vector<int> 逐位儲存這些數。
執行兩數的乘法的方法就是我們小學學乘法時所採用的方式,normalize 負責處理每一位上的進位情況。
void normalize(vector<int>& c){
for (int i = 0; i < c.size()-1; ++i){
c[i+1] += c[i]/10;
c[i] %= 10;
}
}
vector<int> multiply(const vector<int>& a, const vector<int>& b){
vector<int> c(a.size()+b.size(), 0);
for (int i = 0; i < a.size(); ++i){
for (int j = 0; j < b.size(); ++j){
c[i+j] += a[i]*b[j];
}
}
normalize(c);
return c;
}
2. Karatsuba 快速演算法
Karatsuba 快速乘積演算法首先將兩個整數分別一分為二。例如,a 和 b 各位 256 位的整數,那麼使用
所以將
首先根據
因此:
- z2 = a1 * b1
- z0 = a0 * b0
- z1 = (a0 + b0)(a1 + b1)-z2-z0