Description

一天，他正在為解析算術表示式的課程準備課件。 在課程的第一部分，他只想專注於解析括號。 他為他的學生髮明瞭一個有趣的正確括號序列的幾何表示，如下圖所示:

幾何表示的定義：

1.對於一個括號序列 $A$，我們定義 $g($

2.對於一個括號序列 $A$， $“(A)"$的表示是由一個比 $g(A)$寬 $2$個單位高 $1$個單位的矩形包圍 $g(A)$，它的高度為 $A+1$;

3.對於兩個括號序列 $A$和 $B$， $A+B$的幾何表示形式為把 $g(B)$放置在 $g(A)$右邊的一個單位，且高度為 $A$和 $B$的高度的較大值。其中+指的是字串的連線符。​

在完成課件後，托米老師開始玩他做好的圖片。 他將影象的有限區域交替地塗成黑色和白色，使最外面的區域全部塗成黑色。 對於上面的例子，這個著色如下所示：

現在給你一個合法的括號序列。 請計算顏色為黑色的區域的面積。

Input

輸入的第一行包含一個整數 $T$，表示指定測試用例的數量。

每個測試用例前面都有一個空白行。

每個測試用例由一個合法括號序列 $s$組成。 每行只包含字元 $'('$和 $')'$。

$(1\le T\le 10,|s|\le 4\cdot 10^5)$

Output

對於每個測試用例，輸出一行包含一個整數,表示相應幾何表示的黑色部分的面積。

Sample Input

2

((()))

(())(()(()))

Sample Output

10
20

Solution

將該合法括號序列看作一個森林的 $dfs$序，左括號表示從當前節點走向一個新的兒子節點，右括號則表示從當前節點走向父親節點，建樹後考慮 $u$節點所代表左括號和與之配對的右括號形成的區域中黑色塊的面積，記為 $dp(u)$，為了維護面積，多維護兩個值 $h(u),w(u)$分別表示只考慮以 $u$為根的子樹中所有節點構成區域的高度和寬度，那麼顯然有轉移
$h(u)=\max\limits_{v\in son(u)}\{h(v)\}+1,w(u)=|son(u)|+1+\sum\limits_{v\in son(u)}w(v)$
進而有
$dp(u)=h(u)\cdot w(u)-\sum\limits_{v\in son(u)}dp(v)$
累加該森林每棵樹根節點的 $dp$值即為答案，時間複雜度 $O(n)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=400005;
int T,fa[maxn],h[maxn],w[maxn];
char c[maxn]; 
vector<int>g[maxn];
ll dp[maxn];
void dfs(int u)
{
	if(g[u].size()==0)
	{
		h[u]=w[u]=dp[u]=1;
		return ;
	}
	h[u]=dp[u]=0,w[u]=g[u].size()+1;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		dfs(v);
		h[u]=max(h[u],h[v]+1);
		w[u]+=w[v];
		dp[u]-=dp[v];
	}
	dp[u]+=(ll)h[u]*w[u];
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",c);
		int n=strlen(c);
		for(int i=0;i<n;i++)g[i].clear(),fa[i]=-1;
		int u=0;
		for(int i=1;i<n;i++)
			if(c[i]=='(')g[u].push_back(i),fa[i]=u,u=i;
			else u=fa[u];
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			if(c[i]=='('&&fa[i]==-1)
			{
				dfs(i);
				ans+=dp[i];
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}