公式一

$C_{2n}^n-C_{}^{}$

題目一

假設有n對左右括號，請求出合法的排列有多少個？合法是指每一個括號都可以找到與之配對的括號，比如n=1時，（）是合法的，）（不合法。
分析：n對括號的排列共有 $C_{2n}^n$種，錯誤的排列共有 $C_{2n}^{n+1}$或 $C_{2n}^{n-1}$種。最終結果為
$C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{C_{2n}^n }{n+1}$

題目二

n個數進出棧的順序有多少種？
分析：出棧的時候棧裡必須有數，因此與題目一相同。
$C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{C_{2n}^n }{n+1}$

題目三

2n個人排隊買票，n個人拿5元錢，n個人拿10元錢，票價是5元一張，每個人買一張票，售票員手中沒有零錢，問有多少種排隊方法讓售票員可以順利賣票？
分析：賣票的過程中必須要有5元在，因此5元可以看成左括號，10元看成右括號，與題目一相同。

公式二

$\begin{aligned} f(n) &= f(0)*f(n-1) +f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+\ldots+f(n-1)*f(0)\\ &=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned}$

題目四

求n個無差別的節點構成的二叉樹有多少種不同的結構。
分析：假設n個無差別的節點構成的不同結構樹為 $f(n)$
$f(0)$表示空樹，所以規定只有1種結構。
將n個節點排成一排，如果把第1個節點當做頭剩餘節點就是右子樹那麼共有 $f(0)f(n-1)$種排列。
如果把第2個節點當做頭，第1個節點為左子樹，第3個節點及以後為右子樹，那麼共有 $f(1)f(n-2)$中排列，以此類推，直到 $f(n-1)f(0)$。
假設 $f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5$時
$\begin{aligned} f(n) &= f(0)*f(n-1) +f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+\ldots+f(n-1)*f(0)\\ &=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned}$

題目五

12個高矮不同的人，拍成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人要高，問排列方式有多少種？
分析：假設第一排的人編號為0，第二排的人編號為1。
如果為000011010111，則前4個人在第一排，第5,6個人在第二排，第7個人在第一排，第8個人在第二排，第9個人在第一排，第10,11,12人在第二排。
如果有字首1比0多的話，說明必然會出現不合法的情況。題目變為任意字首不能出現1比0多的情況，所以與題目一相同。