一、基礎概念

1.點：

在解決平面幾何問題時，都是在平面座標系下計算。點都用A(x,y)來表示。

對於一個點(x,y)，它既可以表示一個點，也可以表示一個向量。

2.向量

向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指代表向量的方向，線段的長度代表向量的大小。如果給定了向量的起點 A 與終點B ，則向量可以表示為 ，也可以用字母（如a、b、u、v）表示（書寫時需要在字母頂加上小箭頭）。

用一個點表示一個向量，它的起點就是原點。

若起點A(x1,y1)，終點B(x2,y2)，那麼可以表示為(x2-x1,y2-y1)。

• 向量的模

對於一個向量

若的座標表示為(x,y)，那麼它的模就是||=。

• 向量的加減法：

可以用座標直觀地表示出來。

對於和，如果它們用點表示分別為：(x1,y1)，(x2,y2)，那麼+==(x1+x2,y1+y2)。

構造一個平行四邊形取其對角線大概就是這個向量。

• 向量的乘除法：

代表向量的伸長或縮短，乘以一個負數可以使向量的方向反向。

=(x,y)，則：*k=(kx,ky)，/k=(x/k,y/k)。

• 向量的夾角

在空間裡任取一點O，再任取兩點A，B，令=，=，則∠AOB叫做和的夾角，記作<

• 向量的點積

對於兩個向量：=(x1,y1)，=(x2,y2)，它們的點積用·表示，·=x1*x2+y1*y2。它的結果是一個標量。

它的幾何意義是在方向上的投影與||的乘積。即：·=||*||*cos<,>。

影象上就是OH*OB。∠AOH就是<,>。

用途：

由它的幾何意義可知：·=0⊥，同時，利用點積的式子也可以算出夾角的餘弦值，進而知道夾角的大小。

同時，一個與=(x,y)垂直的向量為=(y,-x)。

• 向量的叉積

很複雜的一個東西，建議自行百度。做題記一下結論就行了。

我們定義二維叉積為a×b=x1y2-x2y1，它的幾何意義是，叉積結果大小=以a，b兩條邊為鄰邊所作成的平行四邊形的有向面積。即：a×b=|a|×|b|×sin<a,b>。

用途：

根據叉積結果，我們可以判斷a，b的方向。若a×b>0，則b在a的逆時針方向。若a×b<0，則b在a的順時針方向。

同時可以推出：a×b=-b×a，a×b=0a,b共線。

• 向量的旋轉

向量a=(x,y)沿起點逆時針旋轉(弧度)，得到的向量b的座標為b=（(x*cos)-(y*sin)，(x*sin)+(y*cos)）。證的話用和角公式套一下再展開就行了。

3.線段：

①可以用兩個端點來表示，例如：線段AB。

②可以用一個點+向量來表示。

點-點=向量；點+向量=點；點-向量=點。

線段AB上的任意一點C滿足：∀C∈AB，∃p∈[0,1]，C=pA+(1-p)B【A、B是向量，C也是向量。】

4.弧度制

用弧長與半徑之比度量對應圓心角角度的方式，叫做弧度制，用符號rad表示，讀作弧度。等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。

弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然後用對應的弧長與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源於印度。那麼半圓的弧長為π，此時的正弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長為π/2，此時的正弦為1，記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對的中心角。其它的角也可依此類推。

二、幾個問題

• 求兩直線（線段）的交點（假設有交點且兩直線不共線）

S1=，S2=，那麼

【E指 向量】

• 求E到直線AB的垂足D：

那麼：

• 求多邊形面積

大概就是把多邊形分成很多的三角形，三角形的面積是有向的，然後加起來大概就會抵消一部分，就變成多邊形面積了。

• 判定點的位置

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