Problem 15 ：Lattice paths

Starting in the top left corner of a 2×2 grid, and only being able to move to the right and down, there are exactly 6 routes to the bottom right corner.

How many such routes are there through a 20×20 grid?

思路 ：

看到這種題目很親切有沒有？就像上小學時候數學題-------找規律。這道題就是以前找規律題的plus版，題目很容易理解，那我們要怎麼找出規律呢？細看一下發現規律確實沒那麼容易找，正推推不出來，於是我採用逆向思維，畫了幾個3x3，4x4,  6x6的方格，發現越來越有意思了。有些問題我們可能不能從表面發現其內在聯絡，可是一旦發現了一些規律，你就會驚歎為什麼自己剛開始的時候不去這樣想！

一旦有了思路，便會文思泉湧，筆耕不綴，我畫了一個圖，看上去更直觀！

• 仔細觀察，這不就是傳說中著名的-------------楊輝三角嗎？
• 其中標記的點旁邊的數字代表從該點到結束點路徑的數目。舉個栗子：比如說黑點到結束點有兩條路徑，一條是先往右一格，再往下一格。另一條呢就是先往下一格，再往右一格。很有意思，有沒有？接下來的對角線呢？

你眼中看似落葉紛飛，變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章！

程式碼 ：

clear,clc;
tic
A = zeros(41);
A (:,1) = 1;
A (2,2) = 1;
for i = 3:41
    A (i,i) = 1;
    for j = 2:i-1
        A(i,j) = (A(i-1,j-1)) + (A(i-1,j));        %yanghui triangle lterative
    end
end
t = max(A,[],2);                %save data to matrix
disp(max(t));
toc
 

 結果 ：  137846528820