泰克展開公式：

一聽這麼名字就感覺有點肝顫，至少我是這樣的。泰勒公式主要的作用就是把一個特別複雜的函式化簡，近似的求其值，歸根結底他的作用就是近似函式來用的，以簡單熟悉的多項式去儘量代替複雜的函式公式。

一次逼近：

接下來我們一點一點的引入來了解這個公式：

圖中給出了一個函式  這個函式影象，我們來試著先逼近  ，在圖中有一個褐色的橫線就是要表達逼近  函式線的公式，在這裡我們先看到有一個微分近似計算公式來代替 

首先我們來看一下這個公式： ，他就是用來近似 的計算公式，這個表示式是微分表示式，在這裡不做過多介紹，只需要瞭解他是通過微分的方式推匯出來的公式就可以了。因為近似表達所以用了≈ 符號。

在這裡我們想要逼近的是  ,他在這個函式中的值是0，我們來直接代入內個微分公式直接就可以得出他的線性逼近，得出一下結果： 。

二次逼近：

在這個圖中介紹了二次逼近，首先列出了一個二次的多項式，用這個多項式來逼近 

我們分別對其求導，一個x都沒有的就用0階導，一個x並且平方是1的用一階導，x平方是2的用二階導，最後通過求導一次計算出a的係數，然後把公式化簡就得出了 

在這兩個圖中有沒有發現這個二次逼近和一次逼近很相似。沒錯，二次逼近其實就是比一次逼近多了一個項，其實一次逼近裡面的 就是二次逼近裡面內個 a 。在這裡我們看出二次逼近有了這個  咱們逼近函式能拐彎了，能更好的擬合這個函式。

在一次逼近的時候是這個樣子  ，二次逼近的時候他長成這樣 然後分別求導後化簡變成這樣 ：，不過他們推導過程的公式是非常像的 。由此我們看出幾次逼近就是分別對應項數求幾次導，然後化簡得出的函式就可以非常的接近我們的原函式，當然對於這個函式導的越多才能越接近：

這個是八次逼近，其實也可以更多次，次數越多逼得越近。。。

但是這樣就滿足了嗎？ 不！！還要逼得更近，這就需要用到誤差項的概念：

上圖中藍框框內給出了兩個公式  是原函式， 是多項式，對他分別求導可以逼近  ， 他就是誤差項，他等於  。為了更好地理解誤差項和逼近這個函式，我們要在理解下他的概念和條件：

在圖中我們一一列出了條件（他們必須都在同一區間）：

1.  0階導的時候也就是常數項，兩個函式之間必須有交點，這個很簡單

2.  1階導我們還記得1階導可以計算函式的單調性，這裡用一階導來讓兩個函式單調性相同

3.  2階導在引進來之後，這個函式即使是曲線的，也可以大概逼近了，因為二階導可以計算函式的凹凸性

4.  導次越多，近似程度就越好。

所以我們的多項式要滿足下面這些條件：

在這張圖已經給出了條件，一個是函式與逼近的內個多項式，他們兩個的各個導數相等，然後原函式必須具有(n+1)階導數這樣才能有逼近效果。然後我們再把誤差項的概念匯入進來：

在這兩個圖中我們給出了誤差項的推導公式，他與前一項的高階導又多了一階，不同的是他的分子上的引數不是x0了，而是  ，他在x0和x之間取值。。然後我們再把公式化簡：

這些理論知識就基本已經BB完了，接下來我們看個例子：