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矩陣的向量化及內積

阿新 • • 發佈：2018-11-11

定義1. 設矩陣 A = ( a i j ) ∈

R m × n \boldsymbol{A} = (a_{ij})\in R^{m\times n} , 把矩陣 A
\boldsymbol{A} 的元素按行的順序排列成一個列向量：
v e c A = ( a
11 , a 12 , ⋅ ⋅ ⋅ , a 1 n , a 21 , a 22 , ⋅ ⋅ ⋅ , a 2 n , ⋅ ⋅ ⋅ , a m 1 , a m 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m n ) T vec\boldsymbol{A} = (a_{11},a_{12},\cdot\cdot\cdot,a_{1n},a_{21},a_{22},\cdot\cdot\cdot,a_{2n},\cdot\cdot\cdot,a_{m1},a_{m2},\cdot\cdot\cdot,a_{mn})^T

則稱向量 v e c A vec\boldsymbol{A} 為矩陣 A \boldsymbol{A} 按行展開的列向量。

定義2. 設矩陣 A = ( a i j ) ∈ R m × n \boldsymbol{A} = (a_{ij})\in R^{m\times n} , 把矩陣 A \boldsymbol{A} 的元素按列的順序排列成一個列向量：
v e c A = ( a 11 , a 21 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n 1 , a 12 , a 22 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a 1 m , a 2 m , ⋅ ⋅ ⋅ , a n m ) T vec\boldsymbol{A} = (a_{11},a_{21},\cdot\cdot\cdot,a_{n1},a_{12},a_{22},\cdot\cdot\cdot,a_{n2},\cdot\cdot\cdot,a_{1m},a_{2m},\cdot\cdot\cdot,a_{nm})^T

則稱向量 v e c A vec\boldsymbol{A} 為矩陣 A \boldsymbol{A} 按列展開的列向量。

定義3. 設 A , B ∈ R n × n \boldsymbol{A,B}\in R^{n\times n} ，稱
A ⋅ B = < A , B > = T r ( A T B ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j b i j = ( v e c A ) T v e c B \boldsymbol{A\cdot B} = <\boldsymbol{A,B}>=Tr(\boldsymbol{A^TB})=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}=(vec\boldsymbol{A})^Tvec\boldsymbol{B}

為矩陣 A , B \boldsymbol{A,B} 的內積。其中， T r a c e ( A ) Trace(\boldsymbol{A}) 為矩陣 A \boldsymbol{A} 的跡，簡記為 T r ( A ) Tr(\boldsymbol{A}) 。

以上內容編輯：崔健棣

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