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蔡高廳老師 - 高等數學閱讀筆記 - 12 不定積分(48、49、50~53)

微分學回顧:


不定積分就是微分的逆運算 

注意全體原函式和一個原函式的表達區別


綜合一下:


不定積分的幾何意義:


不定積分的性質

假設:

性質一

案,注意這裡導數和微分的不同,導數和微分的表示式在不定積分裡面的表述不同。

導數是一個微小變化的增量直接的趨勢關係,斜率,而微分是微小增量的近似值,兩者在無窮小或者大的前提下,無限趨近。

不定積分對兩者具備分別的表達。

1 不定積分和求導是互為逆運算

2 不定積分和求導的順序,不同,結果意義不同。第二等式根據性質求得

性質2

所以成立!


基本積分表:

由導數公式逆推的相應的積分公式

由導數推斷積分公式的例子

思路:

誰的導數是K??

找到一個原函式,即可,例如

共有15個基本初等函式積分表:必須背下來!!!誰說數學沒有公式!

由公式2



換元積分法和分部積分法


 

如何應用基本原理求不定積分

把u(x) 看成是對u(x)微分

這樣換元完成,就是把g(x)的積分,換元為u(x)

換元后帶回去

想辦法找中間變數u,如果缺少常數,用湊的方法,抽成u的微分,找到15個基本微分的一個即可


更多例子 略


第二換元法:

有時候相反,

證明 略


換回來

方法二,利用直角公式

 

 

 

 


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小結:

可以利用第4的結果:

以下略: