06 數列極限的定義 1.3 倍速
已給出數列{Un}和常數A，如果對於任意給定的正數a，都存在一個正整數N，使得對於n>N的一切Un，
不等式 
|Un-A|<a 
恆成立， 則稱n->∞ {Un}以A為極限，或{Un} 收斂與A
記為limUn=A 或 Un->A(n->∞)


說明：
1 定義當中的a 是任意給定的，只有任意給定的a |Un-A| < a 才能表述Un與A無限接近
2 定義中存在N ， N 與 a 有關， 記為 N(a),隨著 a 的確定， 選定N。 且N 不唯一
3 數列定義了只描述了 n-> ∞ Un->A, 沒有提供求A的方法
4 定義的幾何意義，任意給定了鄰域N（A,a）,則一定存在一個N， 則UN+1，UN+2，.....
,落在N(A,a)內


例1 證明：lim（2n+(-1)^n-1 / n） = 2 (n->∞) 16m


例2 證明: n->∞ (n-1)(2n-1)/6*n^2 = 1/3      22m


注意： 利用數列極限的定義驗證limUn=A(n->∞)
關鍵要知名定義中N確實存在。但是這個N 不一定非得要是最小的


例3 證明: lim(-1)^n/(n+1)^2 = 0 


二 。收斂數列的連個性質 


定義 1 若數列{Un}的極限存在， 則極限值是唯一的
練習 習題 1,2,3