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Description

桌面上有 \(R\) 張紅牌和 \(B\) 張黑牌，隨機打亂順序後放在桌面上，開始一張一張地翻牌。

翻到紅牌得到 \(1\$\)，黑牌則付出\(1\$\)。可以隨時停止翻牌，在最優策略下平均能得到多少錢。

• \(R,B\le 5000\)

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Solution

期望水題。

所謂最優策略也就是不會使得得到的錢為負數，轉移的時候和 \(0\) 取 \(max\) 就是了。

注意，由於是牌序隨機，所以最後答案必須是全部牌的得分期望。

設 \(f[i][j]\) 表示拿了 \(i\) 張紅牌， \(j\) 張黑牌的期望得錢數。

\[ f[i][j]=max(0,\frac i{(i+j)\times(f[i][j]+1)}+\frac{j}{(i+j)*(f[i][j-1]-1))} \]

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Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 5010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;
 
int n,m;
 
double f[2][N];
 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(R int i=0,now=0;i<=n;++i,now^=1,f[now][0]=(double)i){
        for(R int j=1;j<=m;++j)
            f[now][j]=max(0.0,(double)i/(double)(i+j)*(f[now^1][j]+1)+(double)j/(double)(i+j)*(f[now][j-1]-1));
    }
    ll ans=f[n&1][m]*1000000;
    printf("%lf",(double)ans/1000000);
    return 0;
}