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BZOJ 2395 傳送門

Solution：

算是一類比較經典的模型：

即對於一類經典問題，每點由1個權值化為2個權值，最終求$sigma(val_1)*sigma(val_2)$

對於此題，

設每棵生成樹為坐標系上的一個點，$sigma(x_i)$為橫坐標，$sigma(y_i)$為縱坐標。

則問題轉化為求一個點，使得$xy=k$最小。

即，使過這個點的反比例函數$y=k/x$最接近坐標軸

算法如下圖：

（1）:求得分別距$x$軸和$y$軸最近的生成樹（點）：$A$、$B$（分別按x權值和y權值做最小生成樹即可）。

（2）尋找一個在$AB$的靠近原點一側的且離$AB$最遠的點$C$

（3）遞歸地分別往$AC$、$BC$靠近原點的一側找。遞歸邊界：該側沒有點了。

剩下來就是一些尋找$C$點實現細節了：

由於$C$離$AB$最遠，所以$S\Delta ABC$面積最大。

因此最小化$\vec{AB} \times \vec{AC}$即可（此時叉積為負）

化簡一下式子，將每個點的權值修改為 $y[i]*(Bx-Ax)+x[i]*(Ay-By)$ 做最小生成樹，找到的是$C$。

Code：

//by NewErA
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=205;
const int MAXM=1e4+5;
struct Vector
{
    int x,y;
    Vector(const int &A,const int &B){x=A;y=B;}Vector(){}
};
struct edge
{
    int to,from,c,t,w;
}e[MAXM];
bool cmp(edge x,edge y){return x.w<y.w;}
Vector operator - (const Vector &a,const Vector &b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
Vector operator + (const Vector &a,const Vector &b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
int Cross(const Vector &a,const Vector &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}

int n,m,f[MAXN],cnt=0;
Vector res=Vector(1e9,1e9),minc,mint;

int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}

Vector Kruscal()  //求解最小生成樹
{
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=i;
    Vector cur=Vector(0,0);cnt=0;
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int fx=find(e[i].from),fy=find(e[i].to);
        if(fx!=fy)
        {
            cnt++;f[fx]=fy;
            cur.x+=e[i].c;cur.y+=e[i].t;
            if(cnt==n-1) break;
        }
    }
    
    ll P1=(ll)res.x*res.y,P2=(ll)cur.x*cur.y; //記得開long long 
    if(P1>P2 || (P1==P2 && res.x>cur.x))
        res=cur;
    return cur;
}

void Solve(Vector A,Vector B)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
        e[i].w=e[i].c*(A.y-B.y)+e[i].t*(B.x-A.x);  //將邊權加以轉化
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    Vector C=Kruscal();
    if(Cross(B-A,C-A)>=0) return;  //終止條件：叉積大於等於0
    Solve(A,C);Solve(C,B);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].c,&e[i].t);
    
    for(int i=1;i<=m;i++) e[i].w=e[i].c;
    sort(e+1,e+m+1,cmp);minc=Kruscal();
    
    for(int i=1;i<=m;i++) e[i].w=e[i].t;
    sort(e+1,e+m+1,cmp);mint=Kruscal();
    
    Solve(minc,mint);
    printf("%d %d",res.x,res.y);
    
    return 0;
}
 

Review：

這類模型一般很好識別，就當模板練了吧

[BZOJ 2395] Time is money