1. 線性方程組的幾何解釋

線性代數的中心問題就是解決一個方程組，這些方程都是線性的，也就是未知數都是乘以一個數字的。

\[\begin{alignedat}{2} &x \space- \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\space&2&y \space=\space 11 \end{alignedat}\]

針對上面的方程組，如果我們一行一行來看的話，那麼第一個方程 \(\boldsymbol{x-2y=1}\) 表示二維平面的一條直線。點 (1, 0) 是方程的一個解，點 (3, 1) 也是方程的一個解，因此它們都位於這條直線上。

同理，第二個方程 \(\boldsymbol{3x+2y=11}\) 也表示二維平面的一條直線，這兩條直線的交點也就是上述方程組的解，因為它同時滿足了方程一和方程二 。

另外，我們也可以將上述方程寫成向量的形式：

\[ x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix} = \boldsymbol b\]

問題就變成了尋找左邊兩個向量的一個特定線性組合來產生右邊的向量。

若將上述方程組表示成矩陣的形式，就是：

\[Ax=b \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1&-2 \\ 3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11\end{bmatrix} \]

行影象就是對矩陣 \(A\) 的行進行處理，而列影象則是矩陣 \(A\) 的列的線性組合。

2. 三個未知數三個方程

針對三個未知數 \(x, y, z\)，我們有三個線性方程：

\[\begin{alignedat}{2} &x\space+\space&2&y\space+\space&3&z \space= \space6 \\ 2&x\space+\space&5&y\space+\space&2&z\space = \space4 \\ 6&x\space-\space&3&y\space+\space&&z \space= \space2 \end{alignedat}\]

在行影象中，每個方程產生一個三維空間中的平面。第一個平面和第二個平面相交於一條直線 \(L\)，然後第三個平面和這條直線又相交於一點，也就是方程組的解。

在列影象中，我們要尋找左邊向量的一個線性組合。在這裡，我們可以非常容易地看到方程組的解，(6, 4, 2) 為 (3, 2, 1) 的 2 倍，因此解就為 (0, 0, 2)。

\[ x \begin{bmatrix} 1 \\ 2\\6 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 5\\-3 \end{bmatrix} +z \begin{bmatrix} 3 \\ 2\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6 \\ 4\\2 \end{bmatrix}\]

表示成矩陣的形式，就是

\[ Ax = b \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 2&5&2\\6&-3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 4\\ 2\end{bmatrix}\]

\(A\) 乘以 \(x\) 可以看成是 \(x\) 和矩陣的行的點積

\[ Ax =\begin{bmatrix} \boldsymbol{(row1) \cdot x} \\ \boldsymbol{(row2) \cdot x}\\\boldsymbol{(row3) \cdot x} \end{bmatrix}\]

也可以看成是矩陣的列的線性組合

\[ Ax = x\boldsymbol{(column1)} + y\boldsymbol{(column2)}+z\boldsymbol{(column3)}\]

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