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線性代數之——向量簡介

1. 二維向量

在二維平面中,一個二維向量可以用一個箭頭來表示,這個箭頭起始於原點,終點座標 ( x , y ) (x, y) 分別為向量中的兩個元素,而 c

v c\boldsymbol{v} d w d\boldsymbol{w} 的和則是向量 v
\boldsymbol{v}
w \boldsymbol{w} 的線性組合。

2. 三維向量

三維向量和二維向量類似,可以表示為三維平面中的一個箭頭,只不過座標變成了 ( x

, y , z ) (x, y, z)

針對三維向量 u \boldsymbol{u} v \boldsymbol{v} w \boldsymbol{w} ,有

  • 所有 c u c\boldsymbol{u} 的組合會填滿一條直線
  • 所有 c u + d v c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v} 的組合會填滿一個平面,如果 u \boldsymbol{u} v \boldsymbol{v} 不在一條直線上
  • 所有 c u + d v + e w c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{w} 的組合會填滿三維空間,如果 w \boldsymbol{w} 不在 u \boldsymbol{u} v \boldsymbol{v} 組合成的平面上

3. 長度和點積

兩個向量 v = ( v 1 , v 2 ) \boldsymbol v=(v_1, v_2) w = ( w 1 , w 2 ) \boldsymbol w=(w_1, w_2) 的點積或者內積 v w \boldsymbol{v \cdot w} 定義為:

v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 \boldsymbol{v \cdot w} = v_1w_1 + v_2w_2

如果兩個的向量的點積為零,說明這兩個向量是垂直的,它們之間的角度為 90°。

另一個重要的情況是一個向量和自己點積,這時候點積的結果就是向量長度的平方,或者說向量的長度就等於與自身點積的平方根。

L e n g t h = n o r m ( v ) = v = v v \boldsymbol{Length}=norm(v)=||v||=\sqrt{v\cdot v}

單位向量就是向量長度為 1 的向量,也就是 u u = 1 \boldsymbol{u \cdot u}=1 u = v / v \boldsymbol{u}=v/||v|| 是一個和 v \boldsymbol{v} 在一個方向上的單位向量。

沿著 x x 軸和 y y 軸 的單位向量稱為 i \boldsymbol{i} j \boldsymbol{j} ,在 x y xy 平面中,單位向量 u \boldsymbol{u} x x 軸構成一個夾角 θ \theta

i = [ 1 0 ] j = [ 0 1 ] u = [ c o s θ s i n θ ] \boldsymbol{i} = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\boldsymbol{j} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix}cos\theta \\ sin\theta\end{bmatrix}

當兩個向量之間的角度小於 90° 時,它們的點積大於 0;當兩個向量之間的角度大於 90° 時,它們的點積小於 0;而當兩個向量之間的角度等於 90° 時,它們的點積等於 0。

我們可以直觀地看到這種情況,當這兩個向量分別為單位向量 u = ( c o s θ , s i n θ ) \boldsymbol u=(cos\theta, sin\theta) i = ( 1 , 0 ) \boldsymbol i=(1, 0) 時,這時候 u i = c o s θ \boldsymbol{u \cdot i}=cos\theta θ \theta 也就是這兩個向量之間的角度。

當這兩個向量分別旋轉到 u = ( c o s β , s i n β ) \boldsymbol u=(cos\beta, sin\beta) i = ( c o s α , s i n α ) \boldsymbol i=(cos\alpha, sin\alpha) 時,它們的點積為:

u i = c o s β c o s α + s i n β s i n α = c o s ( β α ) = c o s θ \boldsymbol{u \cdot i} = cos\beta cos\alpha + sin\beta sin\alpha = cos(\beta-\alpha) = cos\theta

當兩個向量不是單位向量的時候,我們就可以先除以向量的長度把它們變成單位向量,因此,同樣地,就有:

v w v   w = c o s θ \frac{\boldsymbol{v \cdot w}}{||v|| \space ||w||} = cos\theta

因為 c o s θ |cos\theta| 不會超過 1,因此我們就得到了 施瓦茨不等式(Schwarz Inequality)三角不等式(Triangle inequality)