線性代數之——向量簡介
1. 二維向量
在二維平面中,一個二維向量可以用一個箭頭來表示,這個箭頭起始於原點,終點座標 分別為向量中的兩個元素,而 與 的和則是向量 和 的線性組合。
2. 三維向量
三維向量和二維向量類似,可以表示為三維平面中的一個箭頭,只不過座標變成了 。
針對三維向量 , 和 ,有
- 所有 的組合會填滿一條直線
- 所有 的組合會填滿一個平面,如果 和 不在一條直線上
- 所有 的組合會填滿三維空間,如果 不在 和 組合成的平面上
3. 長度和點積
兩個向量 和 的點積或者內積 定義為:
如果兩個的向量的點積為零,說明這兩個向量是垂直的,它們之間的角度為 90°。
另一個重要的情況是一個向量和自己點積,這時候點積的結果就是向量長度的平方,或者說向量的長度就等於與自身點積的平方根。
單位向量就是向量長度為 1 的向量,也就是 。 是一個和 在一個方向上的單位向量。
沿著 軸和 軸 的單位向量稱為 和 ,在 平面中,單位向量 和 軸構成一個夾角 。
當兩個向量之間的角度小於 90° 時,它們的點積大於 0;當兩個向量之間的角度大於 90° 時,它們的點積小於 0;而當兩個向量之間的角度等於 90° 時,它們的點積等於 0。
我們可以直觀地看到這種情況,當這兩個向量分別為單位向量 和 時,這時候 , 也就是這兩個向量之間的角度。
當這兩個向量分別旋轉到 到 時,它們的點積為:
當兩個向量不是單位向量的時候,我們就可以先除以向量的長度把它們變成單位向量,因此,同樣地,就有:
因為 不會超過 1,因此我們就得到了 施瓦茨不等式(Schwarz Inequality) 和 三角不等式(Triangle inequality):