1. 矩陣的秩

\(m\) 和 \(n\) 給出了矩陣的大小，但卻不是線性方程組的真正大小。因為，一個 \(0=0\) 的方程實際上是不算的。如果 \(A\) 中有完全相等的兩行，或者第三行是第一行和第二行的線性組合，那麼消元過程中就會出現全零的行。線性方程組的真正大小由秩來確定。

矩陣的秩是主元的個數，稱為 \(r\)。

\[A = \begin{bmatrix} 1&1&2&4\\1&2&2&5\\1&3&2&6 \end{bmatrix}\]

矩陣的前兩列是 (1, 1, 1)、(1, 2, 3)，它們在不同的方向，因此是主列（pivot columns）。第三列是第一列的 2 倍，第四列是前三列的和，因此這兩列不會有主元，它們是自由列（free column）。每個自由列都是前面主列的線性組合

下面我們來進行消元，消元會改變列的元素，但不會改變原有的線性組合。

可以看到，\(U\) 中有兩個主元，因此 \(A\)（\(U\)） 的秩為 2。我們繼續進行消元得到 \(R\)。

這時候，我們可以很容易就得到特解的值，它們就是自由列的值取負號。

秩為 1 的矩陣只有一個主元，每一行都是主行的倍數，每一列也都是主列的倍數。

而且，秩 1 矩陣還可以表示為一個列向量和一個行向量的乘積。

這時候，\(Ax =0 \to u(v^Tx)=0 \to v^Tx=0\)，也就是所有零空間的 \(x\) 和行空間的 \(v\) 正交。在幾何上，零空間是一個平面，行空間是一條直線，也就是這條直線垂直於這個平面。

矩陣的秩是相互獨立的行（主行）的個數，也是相互獨立的列（主列）的個數。

矩陣的秩是列空間的維數，也是行空間的維數。

主列就是不能由前面列線性組合而產生的列，而自由列是前面列的線性組合，這些線性組合就是特解。

\(Ax=0\) 有 \(r\) 個主元和 \(n-r\) 個自由變數，那麼零空間就有 \(n-r\) 個相互獨立的特解。

我們可以很容易從 \(Rx=0\) 得到特解，假設前 \(r\) 列是主列，那麼 \(R\) 就可以表示成這樣：

其解就可以表示為：

由分塊矩陣可知，\(RN = \begin{bmatrix} -IF+IF\\0 \end{bmatrix} = \boldsymbol0\)

2. \(Ax=b\) 的全解

當我們求解 \(Ax=b\) 的時候，對左邊的矩陣 \(A\) 進行消元的時候，我們要同時對右邊的 \(b\) 進行同樣的操作，一個簡單的辦法就是把 \(b\) 作為 \(A\) 的一列組成增廣矩陣。

進行消元后，我們可以得到

其中最後的全零行是非常重要的，左邊矩陣 \(A\) 第一行加上第二行等於第三行，右邊的 \(b\) 也必須滿足這種情況方程組才有解。

方程的其中一個解就是將自由變數都設定為 0，這時候定解（particular solution）中主變數的值就來自於 \(b\)

而方程的全解則由兩部分組成，一部分為定解，一部分為 \(Ax=0\) 的零空間解。

3. 四種可能的情況

假設矩陣 \(A\) 的大小為 m×n，矩陣的秩為 \(r\)，則方程組的解有如下四種情況：

若 \(r=m\)，則意味著列空間為整個 \(R^m\)，此時 \(b\) 一定位於列空間內，也就是方程組一定有解。若同時還有 \(r=n\)，意味著沒有自由變數，零空間解只有零向量，方程組有唯一解；若同時還有 \(r<n\)，意味著有自由變數，零空間解有無窮個，方程組的也就有無窮解。

若 \(r<m\)，則意味著列空間為 \(R^m\) 的一部分子空間，此時 \(b\) 可能位於列空間內也可能不在列空間內，因此，方程組可能有解也可能無解。若同時還有 \(r=n\)，意味著沒有自由變數，零空間解只有零向量，方程組有解情況下也只能有唯一解；若同時還有 \(r<n\)，意味著有自由變數，零空間解有無窮個，方程組有解情況下也就有無窮解。

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