本節的核心是將常係數微分方程轉化為線性代數問題。

$\frac{du}{dt}=$

代入 $t=0$，可得 $u(0) = C$，因此有 $u(t) = u(0)e^{\lambda t}$。這是隻有一個變數的情況，線上性代數裡，我們擴充套件到 $n$ 個方程的情況。

$\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始條件為向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0}$

注意，這裡 $A$ 是常矩陣，不隨時間而改變。而且這些方程是線性的，如果 $\boldsymbol u(t)$ 和 $\boldsymbol v(t)$ 都是方程組的解，那麼它們的線性組合 $C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)$ 也是解，我們需要 $n$ 個這樣的常數來匹配方程組的初始條件。

1. $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$ 的解

其中一個解是 $e^{\lambda t} \boldsymbol x$， $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的特徵值，而 $\boldsymbol x$ 是特徵向量。將這個解代入原方程，利用 $A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x$ 可得

$\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u$

這個解的所有部分都有 $e^{\lambda t}$，當 $\lambda>0$ 時，解會增長；當 $\lambda<0$ 時，解會衰減。而當 $\lambda$ 為虛數時，則它的實部決定解是增長還是衰減。

• 例 1

求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}$。

矩陣 $A$ 的特徵值為 1 和 -1，特徵向量為 (1, 1) 和 (1, -1)，因此兩個純指數解為：

$\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$

$\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$

這些 $\boldsymbol u$ 依然是矩陣的特徵向量，它們滿足 $A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1$ 和 $A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2$，只不過是係數隨著 $t$ 改變罷了。方程組的全解為這些特解的線性組合。

利用初始條件我們可以確定出係數 $C$ 和 $D$。

因此，我們可以通過以下三個步驟來求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$。

• 將 $\boldsymbol u_0$ 寫成特徵向量的線性組合， $ u 0 = c 1 x 1 + 相關推薦 線性代數之——微分方程和 exp(At) 本節的核心是將常係數微分方程轉化為線性代數問題。 d u 線性代數之——行影象和列影象 1. 線性方程組的幾何解釋 線性代數的中心問題就是解決一個方程組，這些方程都是線性的，也就是未知數都是乘以一個數字的。 \[\begin{alignedat}{2} &x \space- \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\sp 線性代數之——矩陣乘法和逆矩陣 1. 矩陣乘法 如果矩陣 \(B\) 的列為 \(b_1, b_2, b_3\)，那麼 \(EB\) 的列就是 \(Eb_1, Eb_2, Eb_3\)。 \[\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3 線性代數之——對角化和 A 的冪 利用特徵向量的屬性，矩陣 \(A\) 可以變成一個對角化矩陣 \(\Lambda\)。 1. 對角化 假設一個 \(n×n\) 的矩陣 \(A\) 有 \(n\) 個線性不相關的特徵向量 \(x_1,\cdots,x_n\) ，把它們作為特徵向量矩陣 \(S\) 的列，那麼就有 \(S^{-1} 線性代數之——線性相關性、基和維數 1. 線性相關性 矩陣 A A A 的列是線性不相關的當且僅當 線性代數之——正交矩陣和 Gram-Schmidt 正交化 這部分我們有兩個目標。一是瞭解正交性是怎麼讓 \(\hat x\) 、\(p\) 、\(P\) 的計算變得簡單的，這種情況下，\(A^TA\) 將會是一個對角矩陣。二是學會怎麼從原始向量中構建出正交向量。 1. 標準正交基 向量 \(q_1, \cdots, q_n\) 是標準正交的，如果它們滿 線性代數之——克拉默法則、逆矩陣和體積 1. 克拉默法則 這部分我們通過代數方法來求解 \(Ax=b\)。 用 \(x\) 替換單位矩陣的第一列，然後再乘以 \(A\)，我們得到一個第一列為 \(b\) 的矩陣，而其餘列則是從矩陣 \(A\) 中對應列直接拷貝過來的。 利用行列式的乘法法則，我們有 \[|A|(x_1)=|B_1|\] 線性代數之——特徵值和特徵向量 線性方程 \(Ax=b\) 是穩定狀態的問題，特徵值在動態問題中有著巨大的重要性。\(du/dt=Au\) 的解隨著時間增長、衰減或者震盪，是不能通過消元來求解的。接下來，我們進入線性代數一個新的部分，基於 \(Ax=\lambda x\)，我們要討論的所有矩陣都是方陣。 1. 特徵值和特徵向量 幾乎所有 數學筆記12——常微分方程和分離變量 ref 積分 sub 名稱 答案 曲線 技術 斜率 理學 常微分方程 　　含有未知函數的導數，如 　　的方程是微分方程。 一般的，凡是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，叫做微分方程。未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的叫做偏微分方 線性代數之二------任意階行列式的計算 code 數學 都是 sum bsp 表達 logs 就會 觀察 上一篇，我們講到了二階行列式的定義，接下來我們要將其拓展到任意階的行列式。 在此之前，我們要講一個叫做逆序數的東西，它與行列式的定義可謂是息息相關。 那麽，什麽是逆序數呢？ 眾所周知，任意一個大小為n的集合都 線性代數之行列式的C#研究實現 學習 ops {0} builder att interop turn gen new 最近學習機器學習 才發現以前數學沒有學好 開始從線性代數開始學起 讀完行列式一章寫了些C#的代碼學習一下。 直接上C#代碼： using System; using Syste 線性代數之——消元法 1. 消元的思想 針對下面的方程，我們無法直接得到方程的解。 \[\begin{alignedat}{2} &x \space- \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\space&2&y \space=\space 線性代數之——向量空間 1. 向量空間和子空間 向量空間 \(\boldsymbol R^n\) 由所有的 \(n\) 維向量 \(v\) 組成，向量中的每個元素都是實數。 向量空間 \(\boldsymbol R^2\) 可以用 \(xy\) 平面來表示，其中的每個向量有兩個元素，它們定義了平面上一個點的座標。 在一個 線性代數之——秩和解的結構 1. 矩陣的秩 \(m\) 和 \(n\) 給出了矩陣的大小，但卻不是線性方程組的真正大小。因為，一個 \(0=0\) 的方程實際上是不算的。如果 \(A\) 中有完全相等的兩行，或者第三行是第一行和第二行的線性組合，那麼消元過程中就會出現全零的行。線性方程組的真正大小由秩來確定。 矩陣的秩是主元的 線性代數之——向量簡介 1. 二維向量 在二維平面中，一個二維向量可以用一個箭頭來表示，這個箭頭起始於原點，終點座標 ( x 線性代數之——A 的 LU 分解 1. A = LU 之前在消元的過程中，我們看到可以將矩陣 A A A 變成一個上三角矩陣 線性代數之——正交向量與子空間 1. 正交子空間 兩個向量垂直，意味著 \(v^Tw=0\)。 兩個子空間 \(\boldsymbol V\) 和 \(\boldsymbol W\) 是正交的，如果\(\boldsymbol V\) 中的每個向量 \(v\) 都垂直於 \(\boldsymbol W\) 中的每個向量 \(w\)。 線性代數之——子空間投影 1. 投影 向量 $ b = (2, 3, 4)$ 在 \(z\) 軸上和在 \(xy\) 平面上的投影是什麼，哪個矩陣能產生到一條線上和到一個平面的投影？ 當 \(b\) 被投影到 \(z\) 軸上時，它的投影 \(p\) 就是 \(b\) 沿著那條線的部分。當 \(b\) 被投影到一個平面時，它的投影 線性代數筆記20——行列式和代數餘子式 行列式 　　如果有兩個向量<a1, a2>和<b1, b2>，那麼這兩個向量組成的行列式是： 　　看起來只是表示一個簡單的計算，僅僅計算了一個數值，但是別忘了，行列式是由向量組成的，它一定會表示向量間的某種關係。 　　在《線性代數筆記4——向量3（叉積）》中我們看到，二階行列 線性代數筆記20——行列式和代數余子式 逆矩陣 想是 質變 可能 想象 不難 圖片 利用 info 行列式 　　如果有兩個向量<a1, a2>和<b1, b2>，那麽這兩個向量組成的行列式是： 　　看起來只是表示一個簡單的計算，僅僅計算了一個數值，但是別忘了，行列式是由向量組成的，它一定 $