揹包問題（01揹包 完全揹包 多重揹包）
今天刷牛客網題目，用到揹包問題的求解。在這裡總結一下揹包問題。
揹包問題主要分為以下三種：
- 01揹包
- 完全揹包
- 多重揹包
01揹包問題
有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的價格（即體積，下同）是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這是我們最常遇見的揹包問題，其實只要弄清楚狀態轉移方程即可。
f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])
來解釋一下這個方程：
-
情況一: 第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]
-
情況二: 第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
我們來舉個例子加深一下理解：藍橋杯練習中的採藥問題。
辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裡對他說：“孩子，這個山洞裡有一些不同的草藥，採每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裡，你可以採到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。”
如果你是辰辰，你能完成這個任務嗎？
輸入描述 Input Description
輸入第一行有兩個整數T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一個空格隔開，T代表總共能夠用來採藥的時間，M代表山洞裡的草藥的數目。接下來的M行每行包括兩個在1到100之間（包括1和100）的整數，分別表示採摘某株草藥的時間和這株草藥的價值。
輸出描述 Output Description
輸出包括一行，這一行只包含一個整數，表示在規定的時間內，可以採到的草藥的最大總價值。
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
樣例輸出 Sample Output
3
資料範圍及提示 Data Size & Hint
【資料規模】
對於30%的資料，M<=10；
對於全部的資料，M<=100。
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[101][1001];
int main()
{
int t, m;
cin >> t >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
for(int j = 1; j <= t; j++)
{
if(j >= a)
dp[ 如果我們用一維陣列來解題，狀態壓縮後：
設 f[v]表示重量不超過v公斤的最大價值， 則f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，當v>=w[i]，1<=i<=n 。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm = 2001, maxn = 101;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m, &n); //揹包容量m和物品數量n
for (int i=1; i <= n; i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每個物品的重量和價值
for (int i=1; i <= n; i++) //設f(v)表示重量不超過v公斤的最大價值
for (int v = m; v >= w[i]; v--) //注意是逆序
f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
printf("%d\n",f[m]); // f(m)為最優解
return 0;
}
完全揹包問題
有N種物品和一個容量為V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
完全揹包和01揹包十分相像， 區別就是完全揹包物品有無限件。由之前的選或者不選轉變成了選或者不選，選幾件。
和01揹包一樣，我們可以寫出狀態轉移方程：
f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0<=k*c[i]<=v)
還有一個簡單的優化↓_↓
當一個物品的價值小於另一個物品的價值，但是價格高於另一個物品，我們就可以不去考慮這個物品。即若兩件物品i、j滿足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。我們為什麼要買一個又貴又難吃的東西呢(╯▽╰)
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=101;
int n,m,v,i;
int c[maxn],w[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n); //揹包容量m和物品數量n
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(v=w[i]; v<=m; v++) //設 f[v]表示重量不超過v公斤的最大價值
//這裡是v++ 順序 區別於01揹包
f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
printf("%d\n", f[m]); // f[m]為最優解
return 0;
}
多重揹包問題
有N種物品和一個容量為V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是w[i]，價值是c[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這裡又多了一個限制條件，每個物品規定了可用的次數。
同理，我們可以得出狀態轉移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-kw[i]]+ kc[i]|0<=k<=n[i])
【問題描述】
為了慶賀班級在校運動會上取得全校第一名成績，班主任決定開一場慶功會，為此撥款購買獎品犒勞運動員。期望撥款金額能購買最大價值的獎品，可以補充他們的精力和體力。
【輸入格式】
第一行二個數n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望購買的獎品的種數，m表示撥款金額。
接下來n行，每行3個數，v、w、s，分別表示第I種獎品的價格、價值（價格與價值是不同的概念）和購買的數量（買0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。【輸出格式】
第一行：一個數，表示此次購買能獲得的最大的價值（注意！不是價格）。
【輸入樣例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【輸出樣例】
1040
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[6002], w[6002], s[6002];
int f[6002];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
{
if (j-k*v[i]<0) break;
f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
dp壓縮後
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[10001],w[10001];
int f[6001];
int n,m,n1;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x,y,s,t=1;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
while (s>=t)
{
v[++n1]=x*t;
w[n1]=y*t;
s-=t;
t*=2;
}
v[++n1]=x*s;
w[n1]=y*s; //把s以2的指數分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1,
}
for(int i=1;i<=n1;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
記得去複習這個部落格的講解啊：
http://www.cnblogs.com/fengziwei/p/7750849.html