凸函式的梯度的單調性 (Monotonicity of gradient)
可微函式 f 是凸函式 當且僅當 domf 是凸集,且 (▽f(x)−▽f(y))T(x−y)>0,∀x,y∈domf 即 ▽f:Rn→Rn 是單調對映(monotone mapping)。
證明:
- 如果 f 是可微的凸函式,則有 f(y)≥f(x)+▽f(x)T(y−x),f(x)≥f(y)+▽f(y)T(x−y).將上面兩式相加得 (▽f(x)−▽f(y))T(x−y)>0
- 如果 ▽f 是單調的,定義函式 g : g(t)=f(x+t(y−x)),t∈[0,1]g′(t)=▽f(x+t(y−x))T(y−x)則由 g′(t) 的連續性以及 g′(1)−g′(0)>0且g′(0)−g′(0)=0得 g′(t)−g′(0)≥0,因此 f(y)=g(1)=g(0)+∫01g′(t)dt≥g(0)+g′(0)=f(x)+▽f(x))T(y−x) 即 f 為凸函式。
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