\[ [gcd(i,j)==d]\Rightarrow[\frac {gcd(i,j)}d==1]\Rightarrow\sum\limits_{k|\frac {gcd(i,j)}d}\mu(k) \]

\[ \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)==x]=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nx \rfloor}\mu(d)\lfloor\frac n{xd}\rfloor\lfloor\frac m{xd}\rfloor \end{split} \]
題目

【BZOJ2818】Gcd

【NOI2010】能量採集

\[ \begin{split} \sum_{x=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)==x]&=\sum_{x=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nx \rfloor}\mu(d)\lfloor\frac n{xd}\rfloor\lfloor\frac m{xd}\rfloor\\ &=\sum_{T=1}^n\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum_{x|T}\mu(\frac Tx) \end{split} \]
其中，\(x\)為列舉你想要的\(gcd\)

題目

【BZOJ2820】YY的GCD

\[ \begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mh(gcd(i,j))&=\sum\limits_{d=1}^nh(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(i)\lfloor\frac n{id}\rfloor\lfloor\frac m{id}\rfloor\\ &=\sum\limits_{T=1}^n\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)h(d) \end{split} \]

題目

【BZOJ4407】於神之怒加強版

【SDOI2014】數表

\[ \begin{split} ans&=\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mh(gcd(i,j))\\ &=\prod\limits_{T=1}^n(\prod\limits_{d|T}h(d)^{\mu(\frac Td)})^{\lfloor\frac n{T}\rfloor\lfloor\frac m{T}\rfloor} \end{split} \]
其中\(h(x)\)為可以\(O(1)\)計算的，僅與\(gcd\)有關的函式，\(\prod\limits_{d|T}h(d)^{\mu(\frac Td)}\)需要線上性篩中預處理。

題目

【SDOI2017】數字表格