莫比烏斯反演套路

簡介&&吐槽

　　莫比烏斯反演，通常又可以稱為“懵逼鎢絲繁衍”

​ 這樣一種聽上去就很高階的知識是做什麼的？

莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。

　　這和沒說有什麼區別……事實上，莫比烏斯反演充滿了套路。
　　我們開心的來看一下它的定義吧。
　　不過在這之前，我們先補一些有趣的小知識。

1.數論函式的定義

在數論上，算術函式（或稱數論函式）指定義域為正整數、陪域為複數的函式，每個算術函式都可視為複數的序列。

就我們oi選手而言，簡單的理解為定義域為正整數的函式即可。

2.積性函式與完全積性函式

積性函式：對於所有 gcd(a,b)=1$gcd(a,b)=1$,滿足f(ab)=f(a)f(b)$f(ab)=f(a)f(b)$
完全記性函式：對於所有a,b$a,b$，滿足f(ab)=f(a)f(b)$f(ab)=f(a)f(b)$

3.常見的積性函式

3.1 尤拉函式 φ$\phi$

φ(n)$\phi (n)$表示[1,n]$[1,n]$中與n$n$互質的數的個數
φ(n)=n∏p∈Pp−1p$\phi (n)=n\prod _{p\in P}\frac{p-1}{p}$，其中，P$P$是n$n$的不同因子集合

3.2 莫比烏斯函式 μ$\mu$

若n$n$有平方因子，則μ(n)=0$\mu (n)=0$
否則，n$n$為k$k$個質因數的乘積，則μ(n)=

(−1)k$\mu (n)=(-1{)}^k$

3.3 冪函式 Id$Id$

Idk(n)$I{d}_k(n)$表示nk$n^k$
特別的，有Id0(n)=1(n)=1$I{d}_0(n)=1(n)=1$

Id1(n)=Id(n)=n$I{d}_1(n)=Id(n)=n$

3.4 單位函式 ϵ$ϵ$

ϵ(n)={1(n=1)0(n>1)$ϵ(n)={\{}_{0(n>1)}^{1(n=1)}$
這個函式如果用群論的思想來理解的話就相當於一個么元。

4.DirichletConvolution$DirichletConvolution$

——狄利克雷卷積

定義兩數論函式f,g$f,g$的Dirichlet$Dirichlet$卷積

(f∗g)(n

)=∑d|nf(d)g(nd)$$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

注意：卷積(f∗g)(n)$(f\ast g)(n)$中的∗$\ast$不是乘號，而是卷積的表示

4.1 Dirichlet$Dirichlet$卷積的性質

交換律：f∗g=g∗f$f\ast g=g\ast f$
結合律：f∗(g∗h)=(f∗g)∗h$f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h$
分配率：