文章目錄

• 一、複變函式積分的概念
• 學習目標
• 1、引數法計算復積分
• 二、柯西-古薩(C-G)基本定理
• 學習目標
• 三、複數閉路定理
• 學習目標
• 四、原函式與不定積分
• 學習目標
• 五、柯西積分公式
• 學習目標
• 六、解析函式的高階導數
• 學習目標
• 七、解析函式與調和函式的關係
• 學習目標
• 1、解析函式與調和函式的關係
• 2、偏積分法求共軛調和函式

一、複變函式積分的概念

學習目標

• 會用引數法計算復積分
• 記住 ${\int }_{c}f(z$
  ) d z = ∫ c ( u +
  i v ) ( d x + i d y ) = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y \int_cf(z)dz=\int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_cudx-vdy+i\int_cvdx+udy
• 記住 $\oint_{|z-z_0| =r}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases} 2\pi i &n=0 \\ 0 & n\neq 0\end{cases}$
  

1、引數法計算復積分

    例題1：計算 $\int_czdz$ ,其中 $C$ 為從原點到點 $3+4i$ 的直線段.
$解$：
    直線的方程可寫作 $x=3t，y=4t，0\leq t\leq 1$或 $z=3t+i4t，0\leq t\leq 1$在 $C$ 上， $z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt$. 於是 $\int_czdz=\int^{1}_{0}(3+4i)^2tdt=(3+4i)^2\int^{1}_{0}tdt=\frac{1}{2}(3+4i)^2.$
    例題2：計算積分 $\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz$ 的值，其中 $C$ 為 $|z|$ 的正向圓周
$解$：
     $z=re^{i\theta}$ ，則 $\overline{z}=re^{-i\theta}$ ， $dz=ire^{i\theta}d\theta$
所以 $\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz=\int^{2\pi}_{0}\frac{re^{-i\theta}}{r}·ire^{i\theta}d\theta=ir\int^{2\pi}_{0}d\theta=4\pi i$

二、柯西-古薩(C-G)基本定理

學習目標

• 記住柯西-古薩基本定理的內容，並會靈活運用
  
      柯西-古薩基本定理：如果函式 $f(z)$