文章目錄

• 一、複數的幾何表示
• 學習目標
• 1、複數的模與輻角、輻角主值
• 1.1、模
  
• 1.2、輻角
• 1.3、輻角主值
• 1.4、輻角主值的計算
• 1.5、輻角的計算
• 2、複數的表示
• 2.1、代數表示
• 2.2、三角表示
• 2.3、指數表示
• 二、複數的乘冪與方根
• 學習目標
• 1、乘積
• 2、商
• 3、冪
• 4、根
• 三、對映
• 學習目標
• 1、對映的概念
• 小牛試刀

一、複數的幾何表示

學習目標

• 會求複數的模與輻角、輻角主值.
• 複數的代數表示、三角表示、指數表示要會相互轉換.
• 已知一個複數方程要會判別它是什麼曲線.
• 已知曲線的實數方程要會寫出相應的複數方程.

1、複數的模與輻角、輻角主值

1.1、模

    在複平面上，複數 $z$

1.2、輻角

    在 $z\neq0$ 的情況下，以正實軸為初始邊，以表示 $z$ 的向量為終邊的角的弧度數 $\theta$ 稱為 $z$ 的輻角，記作
$Argz=\theta$這時有 $tan(Argz)=\frac{y}{x}$    我們知道，任何一個複數 $z\neq0$ 有無窮多個輻角. 如果 $\theta_1$是其中一個，那麼 $Argz=\theta_1+2k\pi(k為任意整數)$就給出了 $z$ 的全部輻角.

1.3、輻角主值

    在 $z(\neq0)$ 的輻角中，我們把滿足 $-\pi<\theta_0\leq\pi$ 的 $\theta_0$ 稱為 $Argz$ 的主值，記作 $\theta_0=argz$
特別注意：當 $z=0$ 時， $|z|=0$ ，而輻角不確定.

1.4、輻角主值的計算

    在 $z\neq0$ 的情況下，輻角主值可以這樣求：
$argz =\begin{cases} arctan \frac{y}{x} & x>0 \\ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{2} & x=0,y>0 \\ \ \ -\frac{\pi}{2} &x=0,y<0 \\ arctan\frac{y}{x}+\pi &x<0,y\geq0 \\ arctan\frac{y}{x}-\pi & x<0,y<0 \end{cases}$

1.5、輻角的計算

     $Argz=argz+2k\pi(k為任意整數)$

2、複數的表示

2.1、代數表示

$z=x+iy$

2.2、三角表示

    利用直角座標與極座標的關係： $x=rcos\theta,y=rsin\theta$，還可以把 $z$ 表示成下面的形式： $z=r(cos\theta+isin\theta)$稱為複數的三角表達式.

2.3、指數表示

    再利用尤拉公式： $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，我們又可以得到 $z=re^{i\theta}$這種表示形式稱為複數的指數表示式.

二、複數的乘冪與方根

學習目標

• 會用三角形式與指數形式求兩個複數乘積與商
• 理解兩個複數乘積的幾何意義
• 會用三角形式與指數形式求複數的冪與方根

1、乘積

    定理：兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積；