文章目錄

• 1.1 複數與複變函式
• 重要公式
• 冪級數斂散性判別
• 1.2初等複變函式和反函式
• 指數函式
• 三角函式
• 對數函式
• 冪函式
• 1.3複變函式的導數與解析函式
• 複變函式導數定義
• 柯西-黎曼方程
• 例題

1.1 複數與複變函式

重要公式

尤拉公式： $e^j$

冪級數斂散性判別

1. 達朗貝爾判別法：
   設冪級數為 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ , 則收斂半徑為 $\lim\limits_{n\to \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$
2. 柯西判定法
   設冪級數為 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}=c_n{(z-z_0)}^n$, 則收斂半價為 $[\lim\limits_{n\to\infty}$ $[\sqrt[n]{|c_n|}]^{-1}$

1.2初等複變函式和反函式

指數函式

與實變數指數函式相類似

三角函式

cos z = $\frac{1}{2}(e^{jz}+e^{-jz})$
sin z = $\frac{1}{2j}(e^{jz}-e^{-jz})$

cosh z = $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$
sinh z = $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$

對數函式

• $z = Ln\omega=x+jy=ln|\omega|+j Arg\omega$
• $Lnz=ln|Z|+ jargz$

冪函式

$z^a=e^{aLnz}$
$P.V.z^a=e^{alnz}$

1.3複變函式的導數與解析函式

複變函式導數定義

$f^{'}(z_0)=\frac{df}{dz}|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

柯西-黎曼方程

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$