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複變函式複習概要（極精簡）

阿新 • • 發佈：2018-12-11

ch 1 複數，複變函式

  • 點和點的鄰域、內點（存在鄰域是子集）、開集（全體點都是內點）
  • 區域（連通的開集）、邊界、閉域（區域+邊界）
  • 有界和無界，簡單曲線和閉曲線，單連通和多連通
  • 複變函式
  • 函式極限
    • 定義（鄰域）、充要條件（實部虛部有極限）
    • 加減乘除性質
  • 函式連續性
    • 定義（鄰域）、充要條件（實部虛部連續）
    • 加減乘除和複合性質
    • 沿曲線連續

ch 2 導數，解析

導數

  • 導數的極限定義、微分的定義
  • 可導必定連續，可微=可導
  • 在點處可導的充要條件：柯西黎曼方程 ∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

解析

  • 在點處解析（鄰域內處處可導）、在區域處解析
  • 區域解析=區域可導
  • 四則運算保持區域的解析性，複合保持解析但不能逾越區域
  • 區域解析的柯西黎曼條件

初等函式

初等函式大體和實數的初等函式對應，主要注意連續性、可導性和相關的計算結果

  • 指數、三角、反三角 注意反三角是多值的且主值（分支數）可能不止一個 arcsinw={z:sinz=eiz+e−iz2=w}arcsinw=\lbrace z:sinz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=w\rbrace
  • 對數：Ln、ln l
    n(z)=ln∣z∣+iargzln(z)=ln|z|+iargz
  • 乘冪：注意多值性 ab=ebLnaa^b=e^{bLna}

ch 3 積分

積分

  • 線積分及其基本性質
  • 基本計算：連續函式，光滑曲線，則可轉為單變數定積分做
  • 一個基本結果：∮Cdz(z−z0)n+1={2πi,n=00,n>0\oint_C{\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}}=\begin{cases}2\pi i,n=0 \\ 0,n>0\end{cases}

積分的計算方法

  • 線積分的計算方法：連續函式，光滑曲線，單變數定積分
  • 複合閉路（柯西古薩）：閉路變形，拆小回路
  • 和路徑無關（類似牛-萊）：單連通域內解析
  • 柯西積分公式：邊界函式值的積分可以通過點的函式值確定 f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dzf(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(z)}{z-z_0}dz}
  • 解析函式導數公式：通過解析函式求導來求積分 f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz,n>0f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz},n>0

ch ex 調和函式

  • 定義：實函式在區域內調和 ∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0,(x,y)∈D\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=0,(x,y)\in D
  • 共軛調和：柯西黎曼
  • 性質：和解析的關係（實部虛部共軛調和）
  • 已知調和求解析：
    • 偏積分（利用柯西黎曼的積分湊共軛形式）
    • 不定積分（湊解析函式導數的形式）

ch 4 級數

級數與收斂

  • 數列極限：定義、充要條件（實部虛部有極限）
  • 級數收斂：部分和、收斂與發散、收斂充要條件（實部虛部收斂）、絕對收斂和條件收斂（模求和是否收斂）
  • 函式項級數：在點處收斂、處處收斂、和函式（處處收斂時定義）

冪級數

  • 收斂圓、收斂半徑（阿貝爾：收斂區域由圓周劃分）
  • 收斂半徑求法：比值、根值
  • 四則運算性質：加減乘、複合（函式的n次冪求和）保最小的收斂半徑（但實際的收斂半徑可能更大）
  • 收斂圓內部，冪級數是解析的，可以逐項求導或積分

泰勒級數

  • 冪級數的展開：泰勒級數和冪級數係數對應相等（兩者沒有區別），可利用泰勒級數直接求解冪級數係數 f(z)=∑n=0∞cn(z−z0)nf(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n(z-z_0)^n} 其中 cn=1n!f(n)(z0)=12πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz,n≥0c_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz},n\geq0
  • 在點處解析=在點鄰域內可展泰勒，在區域解析=在區域內可展泰勒

注：

  • 泰勒級數只在圓區域內成立，不能包括邊界
  • 泰勒級數受區域中心點z0z_0的影響

洛朗級數

  • 洛朗級數：帶有正冪項和負冪項的級數
  • 洛朗級數的收斂區域是圓環區域（內外的圓周分別保證負冪項和正冪項收斂）
  • 圓環內部，洛朗級數是解析的，可以逐項求導或積分
  • 在圓環區域解析=在區域內可展洛朗 f(z)=∑n=−∞∞cn(z−z0)n,cn=12πi∮Cf(ξ)(ξ−z0)n+1dξ,n為整數f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n(z-z_0)^n},c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}d\xi},n為整數 係數形式和泰勒是一樣的
  • 利用洛朗級數公式求解積分（留數法） ∮Cf(z)dz=2πic−1\oint_C{f(z)dz}=2\pi ic_{-1}

注：

  • 洛朗級數只在圓環區域內成立，不能包括邊界
  • 洛朗級數展開結果受中心點z0z_0和所選取的圓環域的影響

泰勒級數和洛朗級數的求解

  • 泰勒級數通常直接通過高階導數求係數，並指導積分結果
  • 洛朗級數係數的直接求解方法比較少，通常通過套現有結果求解,比如 11−z=1+z+⋯+zn+…,∣z∣<1\frac{1}{1-z}=1+z+\dots+z^n+\dots,|z|<1 或者一些泰勒展開結果
  • 情況理想時也可用積分值得到係數

ch 5 留數

關於性態的基本概念

奇點

  • 定義：函式不解析的點
  • 孤立奇點：存在處處解析的去心鄰域（非孤立奇點：反之）
  • 針對孤立奇點，在這個去心鄰域（圓環域）對原函式做洛朗展開：
    • 可去奇點：無負冪項（函式極限存在但不等於函式值，類似可去間斷點）
    • 極點：有限個負冪項（臨近該點的函式值趨於無窮） m級極點：負最高次冪是-m次
    • 本性奇點：無窮多個負冪項（函式極限不存在也不為無窮）

零點

  • 零點的定義f(z)=(z−z0)mφ(z)⇔z0是m級零點(φ(z)解析,φ(z0)≠0)f(z)=(z-z_0)^m\varphi(z)\Leftrightarrow z_0是m級零點 \\ (\varphi(z)解析,\varphi(z_0)\neq0)
  • 零點都是孤立的（除非平凡情況）
  • 判定函式的奇點 z0是f(z)的m級極點⇔z0是1f(z)的m級零點z_0是f(z)的m級極點\Leftrightarrow z_0是\frac{1}{f(z)}的m級零點

無窮遠點

  • 肯定是奇點
  • 取φ(t)=f(1/z)\varphi(t)=f(1/z)，考察此函式t=0t=0點的奇點型別
    • 0是可去奇點，無窮遠點關於f(z)f(z)也是可去奇點，f(z)無窮鄰域洛朗展開不含正冪項
    • 0是m級，無窮遠點也是m級，f(z)無窮鄰域洛朗展開正冪項最高為m次
    • 0是本性，無窮遠點也是本性，f(z)無窮鄰域洛朗展開有無窮多個正冪項

留數

  • 定義：環路積分值（這個值等同於洛朗負一次冪項係數） Res[f(z),z0]=12πi∮Cf(z)dzRes[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z)dz