原題連結：P3629 [APIO2010]巡邏

題意

給定一棵樹，每次要走過每條邊。

現在要求加$k$條邊，使得走過每條邊後走過的距離最小，求這個最小值。

分析

首先不考慮加邊，也就是說$k=0$時，是一棵樹，顯然每條邊要經過兩次。

考慮加一條邊，很容易發現形成的環上的點只需要經過一遍，最終經過的距離就是$((n-1)\times 2-len+2)$，$len$是最大環的長度，明顯是樹的直徑$+1$。

考慮加兩條邊對答案有什麼影響。

分兩類考慮：

1.第一次形成的環和第二次沒重疊：答案繼續減去$len_2+2$.

2.第一次形成的環和第二次有重疊：畫過圖就很容易發現，重疊部分是經過了兩次的，答案就是$((n-1)\times 2-len_1+2_len_2+2+k)$,$k$是這個重疊部分的長度。

那麼我們就考慮怎麼求出這個重疊部分了。

考慮差分。

第一次已經減去了這個長度，第二次減去這個長度的相反數就相當於加回上了這個長度。

那麼我們只需要把直徑上的邊權置為$-1$，再求一次樹的直徑即可。

注意第二次的直徑可以為$0$（自環）。

實現的方式

我們常用dfs寫樹的直徑，但是我們發現這樣子是不能跑負權圖的，因為dfs不能統計負權的情況。

而樹形dp求樹的直徑雖然可以跑負權圖，但是卻很難轉移出其他量。

我們結合這兩種演算法，在第一次時用dfs求出直徑，並儲存出直徑上的邊，第二次再跑一次樹形dp就可以了。

儲存直徑上的邊的時候，我們需要一點小技巧。

運用費用流中求增廣路的方法，我們儲存每個節點的祖先節點（從哪裡轉移過來），並利用成對儲存的方法儲存每條邊和它的反向邊。

具體實現見程式碼。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1000;
int read(){
    char c;int num,f=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
    while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
    return f*num;
}
int n,k,ans,pre[N*2],maxn,id,dis[N*2
 
];
int head[N],nxt[N*2],ver[N*2],edge[N*2],tot=1;
void add_edge(int u,int v,int w){
    ver[++tot]=v;edge[tot]=w;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;
    ver[++tot]=u;edge[tot]=w;nxt[tot]=head[v];head[v]=tot;
}
void dfs(int x,int val,int pr){
    if(val>maxn){
        maxn=val;
        id=x;
    }
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        if(ver[i]==pr)continue;
        pre[ver[i]]=i;
        dfs(ver[i],val+edge[i],x);
    }
}
int dfs_get_diam(){
    dfs(1,0,1);
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    maxn=0;
    dfs(id,0,id);
    return maxn;
}
void dp_get_diam(int x,int fa){
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        if(ver[i]==fa)continue;
        dp_get_diam(ver[i],x);
        maxn=max(maxn,dis[x]+dis[ver[i]]+edge[i]);
        dis[x]=max(dis[x],dis[ver[i]]+edge[i]);
    }
}
int main()
{
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        u=read();v=read();
        add_edge(u,v,1);
        ans+=2;
    }
    ans-=dfs_get_diam()-1;
    if(k==1){
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    }
    for(int i=pre[id];i;i=pre[ver[i^1]]){
        edge[i]=-1;
        edge[i^1]=-1;
    }
    maxn=0;
    dp_get_diam(1,1);
    ans-=maxn-1;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}