定義 設 $x=(x_1,x_2$

, … , x n ) T ∈ R

n x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T \in R^n ,則稱乘積 $x_{j_1}$

x j 2 … x j d x_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d} 為 $x$的一個 $d$階多項式，其中 $j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}$

有序齊次多項式

  考慮二維空間（ $x \in R^2$）的模式， $x = (x_1,x_2)^T$,其所有的二階單項式為 $x_i^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1$ 為有序單項式。

$C_2(x)=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^T$
$C_d(x)=(x_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T$

1、二次項推導

$令 x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^T$
$\begin{aligned} C_2(x)·C_2(y) &=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^T · (y_1^2,y_2^2,y_1y_2,y_2y_1)^T\\ &=x_1^2y_1^2+x_2^2y_2^2+x_1x_2y_1y_2+x_2x_1y_2y_1\\ &=(x·y)^2 \end{aligned}$

相關推薦