前言

某一天發現一道樹上啟發式合併裸題，但我不會寫……
學習並刷了兩天的題，是時候來寫個總結了

正文

樹上啟發式合併(DSU on Tree)，是一個在 $O(nlogn$

有的同學可能會有疑問：為什麼要清空呢？
$\;$

由於空間的限制，我們不可能對於每一個節點開一個數組來記錄資料，只能開一個全域性陣列。
在這個全域性陣列內，如果不清空，就會影響到別的子樹，於是導致答案錯誤。
然而可以發現，統計兒子節點時最後那個節點其實沒有必要清空，因為它不再會影響到它的兄弟節點。
這也正是接下來要講到的優化方法。

思考優化：對於節點x，可以在做子樹答案時保留最後一棵子樹v的資料不清空，然後統計x的答案時繞過v節點統計別的子樹。那麼v選哪個呢？當然是選size最大的。
於是，我們得到了一個優化後的做法：對於節點x，先統計輕兒子的答案，並將它們的資料清除；然後統計重兒子的答案，保留資料；最後遍歷其他輕兒子及其子樹，把它們的資料與重兒子合併。
非常神奇的是，經過分析，可以證明它的複雜度是 $O(nlogn)$的！（然而我不會證明，也懶得學）
回到例題，這正是可以用這種方法簡單解決的。放程式碼：

bool s[sz];//是否是重兒子
int cnt[sz];//每種顏色出現次數
ll sum[sz],top;//每個次數之和，以及最多的次數
void add(int c,int t)
{
    sum[cnt[c]]-=c;//原來的減去
    cnt[c]+=t;
    sum[cnt[c]]+=c;//新的加上
    if (sum[top+1]) ++top;//更新最大值
    if (!sum[top]) --top;
}
void add(int x,int fa,int t)
{
    add(col[x],t);//更新資料
    go(x) if (v!=fa&&!s[v]/*繞過重兒子*/) add(v,x,t);
}
ll ans[sz];
void dfs(int x,int fa,bool keep)//keep：是否保留當前子樹的資料
{
    go(x) if (v!=fa&&v!=son[x]) dfs(v,x,0);//遍歷輕兒子，不保留資料
    if (son[x]) dfs(son[x],x,1);//遍歷重兒子，保留資料
    s[son[x]]=1;//標記重兒子
    add(x,fa,1);//把輕兒子與重兒子的資料合併
    ans[x]=sum[top];
    s[son[x]]=0;//取消標記
    if (!keep) add(x,fa,-1);//若不保留則暴力刪除資料（相當於memset，但memset太慢）
}

練習

經過上面的講解，相信各位已經大概明白了樹上啟發式合併的思路。接下來還有幾道練習題（地址均為洛谷題庫，要去原OJ請通過洛谷上的連結過去）：
CF570D Tree Requests
CF208E Blood Cousins
CF246E Blood Cousins Return
CF1009F Dominant Indices
CF375D Tree and Queries
CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths
洛谷上均有對應的樹上啟發式合併題解，有一些是我的，可以點贊。（不要臉地騙個贊）
如果還不太明白，可以去這個部落格看。（然而是英文的）

完結撒花！！