字首和和差分，兩個都是一種優化演算法，把原來甚至需要O(n平方)的演算法變成O(n)，可謂優化得十分優秀。那它們倆具體是什麼，我們一起來看

字首和：

可基本分為一維字首和和二維字首和。

1. 一維字首和：設計狀態f[i]表示i之前（包括i）符合條件的元素個數。這麼說可能有些抽象，我們舉個例子來看：有一個長度為n的序列，如果其中一個元素>=10，就算它是個“好元素”，有q組詢問(x,y)，請問對於每組詢問x-y位置中有多少個好元素？看到這道題我們第一反應可能就是暴力列舉，一個一個找看是不是，是就++。但這樣對於多組詢問無疑TLE，所以我們就用f[i]表示i之前（包括i）符合條件的元素個數,然後開始遞推，每次f[i]=f[i-1]，如果它自己也符合條件，那麼再f[i]++，最後遞推完後，每一組詢問的答案就是f[x]-f[y-1]
2. 二維字首和：設計狀態f[i][j]表示以（i,j）為右下角的矩形內合法的元素個數，遞推式就是：f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-1]，如果它自己也符合條件，那麼再f[i][j]++，為什麼，畫個圖形就知道了

差分：

差分基本分為線性差分、樹上差分，樹上差分又分為點差分和邊差分。

線性差分：差分適用與區間修改，你可能看到這會說：線段樹！但是沒有多次動態詢問的題目，用線段樹可真謂大材小用。差分是怎麼支援區間修改的呢？我們首先設計一個差分陣列diff和原陣列a，diff[i]表示a[i]應該變化的量。所以假如有數列1、2、3、4、5，我現在要求你將位置2-位置4的每個元素加上3，這時用差分應該怎麼做呢？首先diff[2]+=3,diff[4+1]-=3，為什麼要這樣呢？因為差分也有遞推式：diff[i]+=diff[i-1]，所以到時候位置2-4的元素都加了一個3，而第5個元素加了一個3又減了一個3，所以就為0了，後面的元素自然就為0。所以用差分解決區間修改問題的話，第一步對於每組要求：只用頭尾加減即可，第二步要求執行完後遞推差分陣列，最後遞推a陣列，即a[i]+=diff[i]

樹上差分：其實樹上差分跟線性差分一樣，它可以解決什麼問題呢？舉個例子，有一顆樹V，裡面有很多條鏈，請你找出被每條鏈都經過的公共邊。看到這題，暴力我猜你也想到了，這樣100%T飛，所以我們對於每條鏈的起點s和終點e和它們的lca，用一個差分陣列diff，並diff[s]++,diff[e]++,diff[lca(s,e)]-=2，最後遍歷一遍圖（也就是線性差分的遞推），得出diff[i]，即邊(i,i的爸爸)被訪問過多少次。這麼說太抽象了。我直接轉別人的一個部落格

1. 樹上差分講解
2. 樹上差分模版題（題解）看作者為Sa開頭的那篇

看了然後再做一遍題我相信你就懂了！