線性積基於線性代數中的無關向量組
回顧線性代數中的無關向量組的無關性,若兩個向量線性相關，肯定可以相互表示,
ax1+bx2+cx3=0有不全為0的數表示，則說明向量組x1 x2 x3是線性相關的
若一個矩陣可逆,還有他的秩不為0,構成這個矩陣的向量組線性無關

1.線性基的異或集合中不存在0。
2.線性基的異或集合中每個元素的異或方案唯一
3.線性基二進位制最高位互不相同。
4.線性基中元素互相異或，異或集合不變。
5.可以把n個數變成只有最大的數的二進位制位數那麼多個數
6.n個數的線性基最多隻有個n個數中最大的那個數的二進位制的位數個多的數
7.也就是有log2n個數字
8. 每一個數字出現的次數是相同的都是2^(n-cnt)個

一、構造線性基

void build(ll p)
{
    for(int x=62;x>=0;--x)
    {
       if(p&(1ll<<x))// 掃描到最高位的1(位置在位置x處)
     //if((p>>x)==1)或者是這種形式,都可以找出p最高位為1的位置x
        {
            if(a[x]==0)//如果ax不存在
            {
                a[x]=p;//那麼a[x]就等於p
                break;//並且結束
            }
            p^=a[x];//否則p就等於 p^a[x];
        }
    }//最終p要麼變為線性基中的一個數a[x]，要麼變成了0
}//通過傳遞一組數pi,那麼這組數的線性基就構造完成了。
//而且這樣構造出來的線性基(一組數)a1 a2 a3..ax ai的最高為的1在第i位置
 

二、求出最大值

// 1、用線性基求這組數xor出的最大值：從高往低掃ax，若異或上ax使答案變大，則異或。
ll query_max()
{
    ll ret=0;
    for(int i=63;i>=0;--i)
    {
        if(ret^a[i]>ret)
        {
            ret^=a[i];
        }
    }
    return ret;
}

三、求出最小值

//異或的最小值、最小值即為最低位上的線性基。
ll query_min()
{
    for(int i=0;i<=63;++i)
        if(a[i])
            return a[i];
    return 0;
}
 

四、倆線性基合併

//合併兩個線性基、將一個線性基暴力插入另一個線性基中就可以得到兩個原陣列中合併之後的線性基了
void merge(int a1[],int a2[])
{
    int ret[maxn];
    ret=a1;
    for(int i=0;i<=63;++i)
    {
        if(a2[i])
            ret.insert(a2[i]);
    }
    return ret;
}

五、求線性基的k小值

/* 求異或的K小值
我們要將線性基改造成每一位相互獨立。
具體操作就是如果j<i，ai的第j位是1，就將ai異或上aj
對於二進位制的某一位j。只有aj的這一位是1，其他都是0。
所以查詢的時候將k二進位制拆分，對於1的位，就異或上對應的線性基。
最終得出的答案就是k小值。
*/
void rebuild()
{
    for(int i=62;i>=0;--i)
    {
        for(int j=i-1;j>=0;--j)
            if(a[i]&(ll(1<<j)))
                a[i]^=a[j];
    }
    for(int i=0;i<=60;++i)
        if(a[i])
        p[cnt++]=a[i];
}
ll quety_Kth(ll k)
{
    ll ret=0;
    if(k>=(1LL<<cnt))return -1;
    for(int i=60;i>=0;--i)
        if(k&(1ll<<i))ret^=p[i];
    return ret;
}

六、查詢某一個值是否是由線性基得到

//查詢某一個值是否是由線性基得異或和得到得
void query(ll x)
{
    for(int i=62;i>=0;--i)
    {
        if((x>>i&1)&&a[i])
            x^=a[i];
    }
    return x==0;//成立就是可以得到
}