傅立葉變換

傅立葉變換是最簡單的正交變換，它是理解其他變換的基礎，同時也是應用最廣泛的一種正交變換。傅立葉變換建立了從時間域到頻率域的橋樑。   

傅立葉變換的實現

%實現影象的傅立葉變換
I=imread('cameraman.tif');
subplot(131);imshow(I);
title('原始影象');
J=fft2(I);%傅立葉變換
subplot(132);imshow(J);
title('傅立葉變換後的影象');
K=ifft2(J)/255;%傅立葉逆變換
subplot(133);imshow(K);
title('傅立葉逆變換後圖像');
 

結果：

%影象變亮後進行傅立葉變換
I=imread('peppers.png');
J=rgb2gray(I);
J=J*exp(1);
J(find(J>255))=255;
K=fft2(J);
K=fftshift(K);
L=abs(K/256);
figure;
subplot(121);imshow(J);
title('變亮後的影象');
subplot(122);imshow(uint8(L));%頻譜圖
title('頻譜圖');

結果：

%在影象text.tif中定位字母“a”
bw=imread('text.png');
a=bw(32:45,88:98);
subplot(1,2,1);imshow(bw);
title('原始影象');
subplot(1,2,2);imshow(a);
title('模板影象');
 

結果：

%將模板“a”和“text.png”圖進行相關運算，就是先分別對其作快速傅立葉變換，然後利用快速卷積的方法，計算模板和text.png的卷積。
bw=imread('text.png');
a=bw(32:45,88:98);%從影象中提取字母“a”。
C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256)));
subplot(121),imshow(C,[]);
title('模板與卷積')
max(C(:))
thresh=60  %設定門限
subplot(122),imshow(C>thresh)
title('a字母定位')
 

 結果：

濾波器的應用

%對影象進行巴特沃斯低通濾波器
I=imread('cameraman.tif');
I=im2double(I);
J=fftshift(fft2(I));%傅立葉變換和平移
[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);%產生離散資料
z=sqrt(x.^2+y.^2);
D1=10;D2=35;
n=6;%濾波器的階數
H1=1./(1+(z/D1).^(2*n));%濾波器
H2=1./(1+(z/D2).^(2*n));
K1=J.*H1;
K2=J.*H2;
L1=ifft2(ifftshift(K1));%傅立葉反變換
L2=ifft2(ifftshift(K2));
subplot(131);imshow(I);
title('原始影象');
subplot(132);imshow(L1);%顯示載頻頻率為10hz
title('巴特沃斯低通濾波器');
subplot(133);imshow(L2);%顯示載頻頻率為35hz
title('巴特沃斯低通濾波器');

結果：

%對影象進行巴特沃斯高通濾波器
I=imread('cameraman.tif');
I=im2double(I);
J=fftshift(fft2(I));%傅立葉變換和平移
[x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127);%產生離散資料
z=sqrt(x.^2+y.^2);
D1=10;D2=35;
n1=4;n2=8;%濾波器的階數
H1=1./(1+(z/D1).^(2*n1));%濾波器
H2=1./(1+(z/D2).^(2*n2));
K1=J.*H1;
K2=J.*H2;
L1=ifft2(ifftshift(K1));%傅立葉反變換
L2=ifft2(ifftshift(K2));
subplot(131);imshow(I);
title('原始影象');
subplot(132);imshow(L1);%顯示載頻頻率為10hz
title('巴特沃斯低通濾波器');
subplot(133);imshow(L2);%顯示載頻頻率為35hz
title('巴特沃斯低通濾波器');

結果：