• 題目
• 題目分析
• 本題的區間DP
• 整體程式碼與執行結果
• 另一種寫法
• 未完待續

題目

題目描述

設有N堆沙子排成一排，其編號為1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的數量。現要將N堆沙子併成為一堆。歸併的過程只能每次將相鄰的兩堆沙子堆成一堆（每次合併花費的代價為當前兩堆沙子的總數量），這樣經過N-1次歸併後成為一堆，歸併的總代價為每次合併花費的代價和。找出一種合理的歸併方法，使總的代價最小。
例如：有3堆沙子，數量分別為13,7,8，有兩種合併方案，
第一種方案：先合併1,2號堆，合併後的新堆沙子數量為20，本次合併代價為20，再拿新堆與第3堆沙子合併，合併後的沙子數量為28，本次合併代價為28，將3堆沙子合併到一起的總代價為第一次合併代價20加上第二次合併代價28，即48；
第二種方案：先合併2,3號堆，合併後的新堆沙子數量為15，本次合併代價為15，再拿新堆與第1堆沙子合併，合併後的沙子數量為28，本次合併代價為28，將3堆沙子合併到一起的總代價為第一次合併代價15加上第二次合併代價28，即43；
採用第二種方案可取得最小總代價，值為43。

輸入描述

輸入由若干行組成，第一行有一個整數，n（1≤n≤100）；表示沙子堆數。第2至n+1行是每堆沙子的數量。

輸出描述

一個整數，歸併的最小代價。

樣例輸入

7
13
7
8
16
21
4
18

樣例輸出

239

題目分析

首先這個題目需要注意的是：相鄰的堆才可以合併，一開始我沒有看到這個條件，因此每次選兩個最小的合併，這顯然是錯誤的。
思來想去，這道題只能用區間型DP來做了

本題的區間DP

用dp[i][j]表示合併[i,j]區間所需要的最小代價
那麼可以方便的得到如下關係
若i=j，則dp[i][j]=0
否則，則dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]}+sum[i][j]
發現：計算dp[i][j]的大區間，需要先計算出dp[i][j]的小區間，所以可以考慮設定一個變數len，從小往大遞增，根據此來控制先算小區間，再算大區間
最後，本題要求的是合併所有石子，即[i,j]區間和並的最小代價。
因此，本題答案儲存在dp[1][n]內

整體程式碼與執行結果

/*
[email protected]
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define maxn 105
using namespace std;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn][maxn];
int main() {
    int n;
    while (cin >> n) {
        memset(dp, 0
 
, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> a[i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            sum[i][i] = a[i];
            for (int j = i+1; j <= n; ++j) {
                sum[i][j] = sum[i][j - 1] + a[j];
            }
        }
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 1; i <= n - len + 1; ++i) {
                dp[i][i + len - 1] = dp[i][i] + dp[i + 1][i + len - 1] + sum[i][i + len - 1];
                for (int k = i + 1; k < i + len - 1; ++k) {
                    dp[i][i + len - 1] = min(dp[i][i + len - 1], dp[i][k] + dp[k + 1][i + len - 1] + sum[i][i + len - 1]);
                }
            }
        }
        cout << dp[1][n] << endl;
    }
    return 0;
}

結果如下

另一種寫法

我這裡是用了len來控先算小的區間再算大的區間
這個博文卻讓j從後往前推巧妙的避免了這個問題。

for(int i=1; i<=n; ++i){
            for(int j=i-1; j>=1; --j){
                for(int k=j; k<i; ++k){
                    dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[j][k] + dp[k+1][i] + sum[j][i] );
                }
            }
        }

未完待續

我現在不能理解的是，為什麼不能從一排石子鍾，每次找出相鄰兩個加和最小的一組數字進行合併。這是所謂的貪心吧？看不出來哪裡錯了哇。