拉格朗日插值學習小結
簡介
在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國18世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。如果對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。上面這樣的多項式就稱為拉格朗日（插值）多項式。
拉格朗日插值法
眾所周知，\(n + 1\)個\(x\)座標不同的點可以確定唯一的最高為\(n\)次的多項式。在演算法競賽中，我們常常會碰到一類題目，題目中直接或間接的給出了\(n+1\)個點，讓我們求由這些點構成的多項式在某一位置的取值
一個最顯然的思路就是直接高斯消元求出多項式的係數，但是這樣做複雜度巨大\((n^3)\)
而拉格朗日插值法可以在\(n^2\)的複雜度內完美解決上述問題
假設該多項式為\(f(x)\), 第\(i\)個點的座標為\((x_i, y_i)\)，我們需要找到該多項式在\(k\)點的取值
根據拉格朗日插值法
\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]
乍一看可能不是很好理解，我們來舉個例子理解一下
假設給出的三個點為\((1, 3)(2, 7)(3, 13)\)
直接把\(f(k)展開\)
\(f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}\)
觀察不難得到，如果我們把\(x_i\)帶入的話，除第\(i\)項外的每一項的分子中都會有\(x_i - x_i\)，這樣其他的所有項就都被消去了
因此拉格朗日插值法的正確性是可以保證的
下面說一下拉格朗日插值法的拓展
在\(x\)取值連續時的做法
在絕大多數題目中我們需要用到的\(x_i\)的取值都是連續的，這樣的話我們可以把上面的演算法優化到\(O(n)\)複雜度
首先把\(x_i\)換成\(i\)，新的式子為
\(f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)
考慮如何快速計算\(\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)
對於分子來說，我們維護出關於\(k\)的字首積和字尾積，也就是
\[pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j\]
\[suf_i = \prod_{j = i}^n k - j\]
對於分母來說，觀察發現這其實就是階乘的形式，我們用\(fac[i]\)來表示\(i!\)
那麼式子就變成了
\[f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i] * fac[N - i]}\]
注意:分母可能會出現符號問題，也就是說，當\(N - i\)為奇數時，分母應該取負號
重心拉格朗日插值法
再來看一下前面的式子
\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]
設\(g = \prod_{i=1}^n k - x[i]\)
\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])} \]
設\(t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}\)
\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])} \]
這樣每次新加入一個點的時候只需要計算它的\(t_i\)即可
應用
經典應用
首先講一個經典應用：計算\(\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)\)
老祖宗告訴我們，這個東西是個以\(n\)為自變數的\(k + 1\)次多項式，具體證明可以看第二份參考資料
然後直接帶入\(k+1\)個點後用拉格朗日插值算即可，複雜度\(O(k)\)
那具體在題目中怎麼使用拉格朗日插值呢？
首先你要證明求的東西是某個多項式，判斷的依據是：
大部分情況下歸納一下就可以了
題目
由易到難排列