FFT學習筆記

阿新 • • 發佈：2018-12-05

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感謝大佬的博客

隊友希望我學一下，現在補一補也許來得及...？（並不）

由於大佬的文章已經比較詳細了，我只是再分析一下概念和細節上的一點東西（學渣的小抄hhh）

FFT（Fast Fourier Transformation）

用於加速乘法（大概）

如果樸素的計算n次多項式A(x)和B(x)的乘積C(x)的各項系數，需要O(n²)的運算

而FFT能夠將這個復雜度壓到O(nlogn) 可以說非常神奇了

如果將A(x)和B(x)寫成多項式的形式可能並不方便運算，於是用到了點值表示：將n個點x₀~x_n-1帶入表達式A(x)就可以得到n個值y₀~y_n-1，並通過這n組數據來唯一的表示多項式

這樣，C(x)的表示就比較簡單了：

將一特定的值t代入兩個多項式，得到結果分別A(t)、B(t)，那麽C(t)=A(t)×B(t)
只要代入2n個不同的值，就能夠得到C(x)完整的點值，從而確定C(x)的式子

但是普通的實數點值表示也不能將運算數量級降低，必須引入復數點值表示

（這一引入部分詳見大佬博客）

設 $(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

的轉化

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

$(y_{0}, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n - 1})$

，即是點值->系數的轉化

也就是說，我們可以完成系數與點值間的相互轉化

但是上面的兩次轉化復雜度仍均為O(n²)，看起來並不比實數的做法高明

不過這！是！復！數！有各種奇妙的性質我們沒有使用

ω²^k₂_n=ω^k_n

復數允許我們愉快的直接除2，這就可以帶來以下的騷操作

第一眼看的時候覺得很妙，但仔細想一想，ん？如果不湊巧n是奇數咋辦？

好像沒有什麽辦法的樣子，所以我們只能將n補為2^x的形式，而原系數an~a_2^x-1則全為0

看來還是有不少細節需要註意的

同時復數運算肯定結果是小數，有沒有辦法將原系數還原成整數呢？

（明天再補代碼待續）

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