牛頓迭代法求方程的根

1. 牛頓迭代法的幾何解釋

• 註解： 設 $r$是 $f\left(x\right)$
  = 0 f(x)=0 的根，選取 $x_0$ 作為 $r$ 的初始近似值，過點 $(x_0,$
  f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) 做曲線 $y=f(x)$ 的切線 $L$ ， $L:y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ，則 $L$ 與 $x$ 軸交點的橫座標 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ ，稱 $x_1$為 $r$ 的一次近似值。過點 $(x_1,f(x_1))$做曲線 $y=f(x)$ 的切線，並求該切線與 $x$軸交點的橫座標 $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$ ，稱 $x_2$ 為 $r$的二次近似值。重複以上過程，得 $r$ 的近似值序列，其中， $x$_n+1 $=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 稱為 $r$ 的 $n+1$ 次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
  以下是部分圖片（本人選自百度圖片），幫助理解：
  
  

2. 案例

題目：用牛頓迭代法求根。方程為 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ，係數 $a，b，c，d$ 的值依次為 1，2，3，4，由主函式輸入。求 $x$ 在 1 附近的一個實根。求出根後由主函式輸出。

3. 案例分析

牛頓迭代公式為： $x$_n+1 $=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
其中， $x_0$是上一次求出的近似根，在開始是根據題設 $x_0=1$（題目希望求x在1附近的一個實根，因此第一次的近似值可以設定為1）。 $f(x)=x^3+2x^2+3x+4$。 $f'(x)$是 $f(x)$的導數，所以 $f'(x)=3x^2+6x+3$
第一次迭代， $x=1-\frac{f(1)}{f'(1)}$